Calcule integral x^2raiz4-9 x^2 d x
Apresente cada etapa da resolução.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2raiz4-9x^2,dx. Aqui a matéria envolve técnicas de substituição e integrais que resultam em raízes e arcoseno. Vamos usar uma mudança de variável para simplificar a raiz e depois aplicar fórmulas padrões de integração.

Passo 2

Fazemos a substituição u = 3x. Assim x = u/3 e dx = du/3. Além disso, raiz4 - 9x^2 = raiz4 - u^2. Substituindo na integral original temos
integral x^2raiz4-9x^2,dx = integral (u/3)^2raiz4 - u^2 cdot du3 = 127 integral u^2raiz4 - u^2,du

Passo 3

Para lidar com integral u^2raiz4 - u^2,du usamos a identidade
u^2 = l(u^2 - 4r) + 4 = -l(4 - u^2r) + 4
Isso permite escrever a integral como soma de duas:
integral u^2raiz4 - u^2,du = integral -l(4-u^2r)raiz4 - u^2,du + 4 integral 1raiz4 - u^2,du
Ou seja,
integral u^2raiz4 - u^2,du = - integral raiz4 - u^2,du + 4 integral 1raiz4 - u^2,du

Passo 4

Agora usamos as fórmulas padrão:
  • integral raiza^2-u^2,du = u2raiza^2-u^2 + a^22arcsinl(tfracuar) + C.
  • integral duraiza^2-u^2 = arcsinl(tfracuar) + C.
Com a=2, temos:
integral u^2raiz4-u^2,du = -l(u2raiz4-u^2 + 42arcsin(tfracu2)r) + 4arcsin(tfracu2) + C
Simplificando,
integral u^2raiz4-u^2,du = -u2raiz4-u^2 + 2arcsin(tfracu2) + C

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que u=3x e que havia o fator 1/27 fora, obtemos
integral x^2raiz4-9x^2,dx = 127l(-3x2raiz4-9x^2 + 2arcsin(tfrac3x2)r) + C
Fazendo as contas finais:
integral x^2raiz4-9x^2,dx = -x18raiz4-9x^2 + 227arcsinl(3x2r) + C

Resposta

-x18raiz4-9x^2 + 227arcsinl(3x2r) + C

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