Nos seguintes exercícios, determine o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, assuma a>0
x(t)=t^{3}, \quad y(t)=3 t^{2} ; \quad de t=-2 a a t=0.

Passo 1

O enunciado dá as funções paramétricas x(t)=t^{3} e y(t)=3t^{2} e pede o comprimento do arco do traço da curva quando t varia de t=-2a até t=0. Foi dito também que a>0.
Informações relevantes fornecidas:
\;x(t)=t^{3}
\;y(t)=3t^{2}
\;t varia de -2a até 0
Pergunta: determinar o comprimento do arco correspondente a esse intervalo de t.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para comprimento de curva paramétrica. Se uma curva é dada por (x(t),y(t)) com t em [t_{1},t_{2}] e x e y são diferenciáveis, então o comprimento L do arco é
L=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
Explicando: \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} são as velocidades nas direções x e y. O integrando calcula a velocidade total (hipotenusa das componentes), e integrar no tempo acumula esse comprimento ao longo do intervalo.

Passo 3

Calculo as derivadas \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} que entram na fórmula.
Para x(t)=t^{3} temos
\frac{dx}{dt}=3t^{2}.
Para y(t)=3t^{2} temos
\frac{dy}{dt}=6t.
Aqui usei regras básicas de derivação: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}, e a constante 3 sai multiplicando.

Passo 4

Substituo as derivadas no integrando e simplifico a expressão dentro da raiz:
\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}=(3t^{2})^{2}+(6t)^{2}=9t^{4}+36t^{2}.
Factoro 9t^{2}:
9t^{4}+36t^{2}=9t^{2}(t^{2}+4).
Agora a raiz quadrada do produto é
\sqrt{9t^{2}(t^{2}+4)}=3|t|\sqrt{t^{2}+4}.
Observação importante sobre o valor absoluto: |t| aparece porque \sqrt{t^{2}}=|t|. No nosso intervalo t\in[-2a,0] temos t\le 0, então |t|=-t. Assim, no intervalo considerado o integrando fica
3|t|\sqrt{t^{2}+4}=3(-t)\sqrt{t^{2}+4}=-3t\sqrt{t^{2}+4}.
Isso é positivo porque t é negativo e o sinal menos garante positividade do integrando.

Passo 5

Montamos a integral do comprimento usando o integrando simplificado:
L=\int_{-2a}^{0}3|t|\sqrt{t^{2}+4}\;dt=\int_{-2a}^{0}-3t\sqrt{t^{2}+4}\;dt.
Para calcular essa integral faço a substituição padrão para integrais com \sqrt{t^{2}+c}. Defino
u=t^{2}+4.
Então du=2t\;dt, ou seja t\;dt=\dfrac{du}{2}. Note que esse t\;dt aparece na integral multiplicando a raiz. Reescrevo o integrando em termos de u:
-3t\sqrt{t^{2}+4}\;dt=-3\sqrt{u}\cdot (t\;dt)=-3\sqrt{u}\cdot \frac{du}{2}=-\frac{3}{2}u^{1/2}\;du.
Agora troco os limites de integração: quando t=-2a,
u=(-2a)^{2}+4=4a^{2}+4=4(a^{2}+1).
Quando t=0, u=0^{2}+4=4. Portanto a integral em u é
L=\int_{u=4(a^{2}+1)}^{u=4}-\frac{3}{2}u^{1/2}\;du.
Para ficar com limites crescentes, inverto os limites mudando o sinal:
L=\frac{3}{2}\int_{4}^{4(a^{2}+1)}u^{1/2}\;du.

Passo 6

Calculo a integral em u. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Multiplicando pelo fator fora:
\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}=u^{3/2}.
Portanto a integral resulta simplesmente em
L=\left[u^{3/2}\right]_{4}^{4(a^{2}+1)}.

Passo 7

Avalio a expressão nos limites:
L=(4(a^{2}+1))^{3/2}-4^{3/2}.
Simplifico cada termo. Primeiro, 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Para o primeiro termo uso (4\cdot (a^{2}+1))^{3/2}=4^{3/2}(a^{2}+1)^{3/2}=8(a^{2}+1)^{3/2}. Assim
L=8(a^{2}+1)^{3/2}-8=8\bigl((a^{2}+1)^{3/2}-1\bigr).

Resposta

8\bigl((a^{2}+1)^{3/2}-1\bigr)

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