Nos seguintes exercícios, determine o comprimento do arco dado. Quando aparecer
, assuma
de
a
.
Passo 1
O enunciado dá as funções paramétricas
e
e pede o comprimento do arco do traço da curva quando
varia de
até
. Foi dito também que
.
Informações relevantes fornecidas:
varia de
até
Pergunta: determinar o comprimento do arco correspondente a esse intervalo de .
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta: determinar o comprimento do arco correspondente a esse intervalo de
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para comprimento de curva paramétrica. Se uma curva é dada por
com
em
e
e
são diferenciáveis, então o comprimento
do arco é
Explicando:
e
são as velocidades nas direções
e
. O integrando calcula a velocidade total (hipotenusa das componentes), e integrar no tempo acumula esse comprimento ao longo do intervalo.
Passo 3
Calculo as derivadas
e
que entram na fórmula.
Para temos
Para
Para
temos
Aqui usei regras básicas de derivação: a derivada de
é
, e a constante
sai multiplicando.
Passo 4
Substituo as derivadas no integrando e simplifico a expressão dentro da raiz:
Factoro
:
Agora a raiz quadrada do produto é
Observação importante sobre o valor absoluto:
aparece porque
. No nosso intervalo
temos
, então
. Assim, no intervalo considerado o integrando fica
Isso é positivo porque
é negativo e o sinal menos garante positividade do integrando.
Passo 5
Montamos a integral do comprimento usando o integrando simplificado:
Para calcular essa integral faço a substituição padrão para integrais com
. Defino
Então
, ou seja
. Note que esse
aparece na integral multiplicando a raiz. Reescrevo o integrando em termos de
:
Agora troco os limites de integração: quando
,
Quando
,
. Portanto a integral em
é
Para ficar com limites crescentes, inverto os limites mudando o sinal:
Passo 6
Calculo a integral em
. A primitiva de
é
. Multiplicando pelo fator fora:
Portanto a integral resulta simplesmente em
Passo 7
Avalio a expressão nos limites:
Simplifico cada termo. Primeiro,
. Para o primeiro termo uso
. Assim