Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
. - Descrever as curvas de nível de
(conjuntos para cada ).
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A expressão envolve uma divisão por
. - Não há outras restrições explícitas além da expressão algebraica.
Passo 2
Entendendo o que limita o domínio: sempre que uma função tem uma fração, valores do domínio que anulem o denominador são proibidos. Aqui o denominador é
. Vamos analisar quando
.
Observe que
Portanto o valor
tornaria a expressão
indefinida (divisão por zero). Logo todo par
com
NÃO pertence ao domínio.
Passo 3
Concluindo o domínio a partir do passo anterior: todos os pontos de
com
são permitidos (não há nenhuma outra restrição sobre
). Assim o domínio é
Explicando em palavras: qualquer ponto com abscissa diferente de zero funciona; a reta vertical
inteira é excluída.
Passo 4
Agora vamos determinar a imagem (conjunto de valores que
assume). Uma boa estratégia é: dado um valor real arbitrário
, tentar encontrar um par
no domínio tal que
. Se for possível para todo
, então a imagem é
.
Pegue um
qualquer. Uma escolha simples é fixar
(que está no domínio, pois
). Se escolhermos
então
Portanto para cada
existe pelo menos um ponto
no domínio tal que
. Logo todo
é valor de
.
Concluímos que a imagem é
Em palavras:
é sobrejetora sobre
; qualquer número real aparece como valor da função (basta escolher
e
).
Passo 5
Agora descrevemos as curvas de nível. Uma curva de nível associada a um número
é o conjunto
Impondo
obtemos a equação
Portanto, algebraicamente, as curvas de nível são as parábolas dadas por
, mas devemos lembrar que somente pontos com
pertencem ao domínio.
Passo 6
Interpretação geométrica e casos particulares:
- Para
: a curva é uma parábola “voltada para cima” (abertura para valores de positivos). No entanto, como não pertence ao domínio, o vértice da parábola NÃO está incluído. Assim cada nível corresponde à parábola sem o ponto — na prática duas ramificações, uma para e outra para . - Para
: a curva é uma parábola “voltada para baixo” (valores de negativos). Novamente o vértice não pertence ao domínio, então a parábola aparece sem o ponto ; há duas ramificações e . - Para
: a curva é o eixo - (a reta horizontal), porém devemos excluir . Assim o nível é a seta do eixo sem o ponto ; isto é, a reta com .
Observação prática (como desenhar na prova): para desenhar o nível
, trace a parábola
e risque o ponto central
— esse ponto sempre fica fora porque não pertence ao domínio. Para cada
fixo, a curva é simétrica em relação ao eixo
e consiste em duas partes (uma para
e outra para
).
Passo 7
Forma paramétrica útil (opcional para visualizar): cada curva de nível pode ser parametrizada por
como
ou seja, o conjunto
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: para cada
a curva é dada por
com
(parábola
cujo vértice
está excluído; para
é a reta
sem o ponto
).