Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
f(x, y)=\frac{y}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\frac{y}{x^{2}}.
As perguntas são:
  • Encontrar o domínio de f.
  • Encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f.
  • Descrever as curvas de nível de f (conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=c\} para cada c\in\mathbb{R}).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão envolve uma divisão por x^{2}.
  • Não há outras restrições explícitas além da expressão algebraica.

Passo 2

Entendendo o que limita o domínio: sempre que uma função tem uma fração, valores do domínio que anulem o denominador são proibidos. Aqui o denominador é x^{2}. Vamos analisar quando x^{2}=0.
Observe que
x^{2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=0.
Portanto o valor x=0 tornaria a expressão \dfrac{y}{x^{2}} indefinida (divisão por zero). Logo todo par (x,y) com x=0 NÃO pertence ao domínio.

Passo 3

Concluindo o domínio a partir do passo anterior: todos os pontos de \mathbb{R}^2 com x\neq 0 são permitidos (não há nenhuma outra restrição sobre y). Assim o domínio é
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}.
Explicando em palavras: qualquer ponto com abscissa diferente de zero funciona; a reta vertical x=0 inteira é excluída.

Passo 4

Agora vamos determinar a imagem (conjunto de valores que f assume). Uma boa estratégia é: dado um valor real arbitrário c, tentar encontrar um par (x,y) no domínio tal que f(x,y)=c. Se for possível para todo c\in\mathbb{R}, então a imagem é \mathbb{R}.
Pegue um c\in\mathbb{R} qualquer. Uma escolha simples é fixar x=1 (que está no domínio, pois 1\neq0). Se escolhermos y=c então
f(1,c)=\frac{c}{1^{2}}=c.
Portanto para cada c existe pelo menos um ponto (1,c) no domínio tal que f(1,c)=c. Logo todo c\in\mathbb{R} é valor de f.
Concluímos que a imagem é
\text{Im}(f)=\mathbb{R}.
Em palavras: f é sobrejetora sobre \mathbb{R}; qualquer número real aparece como valor da função (basta escolher x\neq0 e y=cx^{2}).

Passo 5

Agora descrevemos as curvas de nível. Uma curva de nível associada a um número c\in\mathbb{R} é o conjunto
\{(x,y)\in\text{Dom}(f)\mid f(x,y)=c\}.
Impondo f(x,y)=c obtemos a equação
\frac{y}{x^{2}}=c \quad\Longleftrightarrow\quad y=c\,x^{2}.
Portanto, algebraicamente, as curvas de nível são as parábolas dadas por y=cx^{2}, mas devemos lembrar que somente pontos com x\neq 0 pertencem ao domínio.

Passo 6

Interpretação geométrica e casos particulares:
  • Para c>0: a curva y=cx^{2} é uma parábola “voltada para cima” (abertura para valores de y positivos). No entanto, como x=0 não pertence ao domínio, o vértice (0,0) da parábola NÃO está incluído. Assim cada nível c>0 corresponde à parábola y=cx^{2} sem o ponto (0,0) — na prática duas ramificações, uma para x>0 e outra para x<0.
  • Para c<0: a curva y=cx^{2} é uma parábola “voltada para baixo” (valores de y negativos). Novamente o vértice (0,0) não pertence ao domínio, então a parábola aparece sem o ponto (0,0); há duas ramificações x>0 e x<0.
  • Para c=0: a curva y=0 é o eixo x- (a reta horizontal), porém devemos excluir x=0. Assim o nível 0 é a seta do eixo x sem o ponto (0,0); isto é, a reta y=0 com x\neq0.
Observação prática (como desenhar na prova): para desenhar o nível c, trace a parábola y=cx^{2} e risque o ponto central (0,0) — esse ponto sempre fica fora porque não pertence ao domínio. Para cada c fixo, a curva é simétrica em relação ao eixo y e consiste em duas partes (uma para x>0 e outra para x<0).

Passo 7

Forma paramétrica útil (opcional para visualizar): cada curva de nível pode ser parametrizada por t\in\mathbb{R}\setminus\{0\} como
x=t,\qquad y=c\,t^{2},
ou seja, o conjunto \{(t,c\,t^{2})\mid t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\}.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}
Imagem: \mathbb{R}
Curvas de nível: para cada c\in\mathbb{R} a curva é dada por y=cx^{2} com x\neq 0 (parábola y=cx^{2} cujo vértice (0,0) está excluído; para c=0 é a reta y=0 sem o ponto (0,0)).

Exercícios relacionados