Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f:
  • encontrar o domínio de f;
  • encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f;
  • descrever as curvas de nível (conjuntos \{(x,y):f(x,y)=k\} para valores k possíveis).
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}.
  • A expressão envolve uma raiz quadrada no denominador, o que impõe restrições sobre x e y (essas restrições precisam ser determinadas).

Passo 2

Entender o que torna a expressão válida (regras básicas). Para que f(x,y) esteja definida, é necessário que:
  1. O radicando da raiz seja não negativo quando a raiz estiver no numerador; aqui a raiz está no denominador, então é obrigatório que o radicando seja estritamente positivo para evitar divisão por zero. Em termos algébricos isso significa:
16 - x^{2} - y^{2} > 0.
  1. Além disso, a raiz quadrada de um número positivo é bem definida (não precisamos de números complexos aqui).
Portanto a condição para (x,y) pertencer ao domínio é exatamente 16 - x^{2} - y^{2} > 0.

Passo 3

Converter a condição para uma forma geométrica familiar. A desigualdade
16 - x^{2} - y^{2} > 0
equivale a
x^{2} + y^{2} < 16.
Isso é o interior aberto do disco de raio 4 centrado na origem. Em linguagem geométrica: todos os pontos cuja distância à origem é menor que 4.
Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}<16\}.
Comentário prático: não se pode incluir a circunferência x^{2}+y^{2}=16 porque aí o denominador seria \sqrt{0}=0 e isso dá divisão por zero (função não definida). Também não há pontos fora do disco porque o radicando ficaria negativo.

Passo 4

Para estudar a imagem é útil reescrever f em função da distância radial r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Como o valor de f depende só de x^{2}+y^{2}, definimos
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad 0\le r<4,
e então
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{16-r^{2}}}.
Agora raciocinamos sobre os possíveis valores de f quando r varia em [0,4):
  • Para r=0 (ponto (0,0)) tem-se
f(0,0)=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}.
  • À medida que r aumenta, 16-r^{2} diminui e, portanto, \sqrt{16-r^{2}} diminui; como f é o inverso dessa raiz, f aumenta quando r aumenta. Podemos verificar a monotonicidade calculando a derivada em termos de r:
\frac{d}{dr}\!\left(\frac{1}{\sqrt{16-r^{2}}}\right)=\frac{r}{(16-r^{2})^{3/2}},
que é \ge 0 para r\ge 0 e estritamente >0 para r>0, mostrando que f é crescente em r no intervalo [0,4).
  • Quando r\to 4^{-} (aproximação pela esquerda do valor 4), o denominador \sqrt{16-r^{2}}\to 0^{+} e portanto f\to +\infty.
Combinando: o menor valor de f é \tfrac{1}{4} (ocorre em (0,0)) e f não tem teto superior (é ilimitada para cima). Assim a imagem é
\mathrm{Im}(f)=\left[\tfrac{1}{4},+\infty\right).

Passo 5

Agora vamos achar as curvas de nível. Defina um nível k e resolva a equação
f(x,y)=k,
para (x,y) no domínio. Como f>0 sempre, valores k possíveis são os da imagem, isto é k\in\left[\tfrac{1}{4},+\infty\right).
Usando a forma radial, a equação fica
\frac{1}{\sqrt{16-r^{2}}}=k.
Resolver para r:
\sqrt{16-r^{2}}=\frac{1}{k}\quad\Longrightarrow\quad 16-r^{2}=\frac{1}{k^{2}}
(observando que tanto \sqrt{16-r^{2}} quanto 1/k são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem ambiguidade). Assim
r^{2}=16-\frac{1}{k^{2}}.

Passo 6

Interpretação dos resultados das curvas de nível:
  • Se k=\tfrac{1}{4}, então
r^{2}=16-\frac{1}{(1/4)^{2}}=16-16=0,
logo a curva de nível é apenas o ponto (0,0).
  • Para k>\tfrac{1}{4}, a quantidade 16-\dfrac{1}{k^{2}} é positiva e obtém-se
r=\sqrt{16-\frac{1}{k^{2}}}\quad\text{com }0<r<4.
Nesse caso a curva de nível f(x,y)=k é a circunferência centrada na origem de raio r:
\{(x,y):x^{2}+y^{2}=16-\tfrac{1}{k^{2}}\}.
  • Para k<\tfrac{1}{4} não há pontos do domínio que satisfaçam f(x,y)=k (não existem curvas de nível nesses níveis).
Geometricamente: as curvas de nível são círculos concêntricos com centro na origem. À medida que k aumenta a circunferência tem raio maior, aproximando-se de raio 4 quando k\to+\infty. O nível mínimo k=\tfrac{1}{4} corresponde ao centro (um ponto), e não há curvas de nível fora do disco de raio 4.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia:
  • Para k=1: r^{2}=16-1=15, então a curva de nível é x^{2}+y^{2}=15 (raio \sqrt{15}).
  • Para k=\tfrac{1}{2}: r^{2}=16-\dfrac{1}{(1/2)^{2}}=16-4=12, então x^{2}+y^{2}=12 (raio 2\sqrt{3}).
  • Para k muito grande, 1/k^{2} é quase 0 e r\approx 4: as curvas estão muito próximas da circunferência limite x^{2}+y^{2}=16, mas essa circunferência não pertence ao domínio.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}<16\}
Imagem: \left[\tfrac{1}{4},+\infty\right)
Curvas de nível: para k=\tfrac{1}{4} a curva de nível é o ponto (0,0). Para k>\tfrac{1}{4} a curva de nível é a circunferência centrada na origem de raio r=\sqrt{16-\dfrac{1}{k^{2}}}, isto é
\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=16-\dfrac{1}{k^{2}}\}.

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