Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- encontrar o domínio de
; - encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
; - descrever as curvas de nível (conjuntos
para valores possíveis).
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - A expressão envolve uma raiz quadrada no denominador, o que impõe restrições sobre
e (essas restrições precisam ser determinadas).
Passo 2
Entender o que torna a expressão válida (regras básicas). Para que
esteja definida, é necessário que:
- O radicando da raiz seja não negativo quando a raiz estiver no numerador; aqui a raiz está no denominador, então é obrigatório que o radicando seja estritamente positivo para evitar divisão por zero. Em termos algébricos isso significa:
- Além disso, a raiz quadrada de um número positivo é bem definida (não precisamos de números complexos aqui).
Portanto a condição para
pertencer ao domínio é exatamente
.
Passo 3
Converter a condição para uma forma geométrica familiar. A desigualdade
equivale a
Isso é o interior aberto do disco de raio
centrado na origem. Em linguagem geométrica: todos os pontos cuja distância à origem é menor que
.
Logo o domínio é
Comentário prático: não se pode incluir a circunferência
porque aí o denominador seria
e isso dá divisão por zero (função não definida). Também não há pontos fora do disco porque o radicando ficaria negativo.
Passo 4
Para estudar a imagem é útil reescrever
em função da distância radial
. Como o valor de
depende só de
, definimos
e então
Agora raciocinamos sobre os possíveis valores de
quando
varia em
:
- Para
(ponto ) tem-se
- À medida que
aumenta, diminui e, portanto, diminui; como é o inverso dessa raiz, aumenta quando aumenta. Podemos verificar a monotonicidade calculando a derivada em termos de :
que é
para
e estritamente
para
, mostrando que
é crescente em
no intervalo
.
- Quando
(aproximação pela esquerda do valor ), o denominador e portanto .
Combinando: o menor valor de
é
(ocorre em
) e
não tem teto superior (é ilimitada para cima). Assim a imagem é
Passo 5
Agora vamos achar as curvas de nível. Defina um nível
e resolva a equação
para
no domínio. Como
sempre, valores
possíveis são os da imagem, isto é
.
Usando a forma radial, a equação fica
Resolver para
:
(observando que tanto
quanto
são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem ambiguidade). Assim
Passo 6
Interpretação dos resultados das curvas de nível:
- Se
, então
logo a curva de nível é apenas o ponto
.
- Para
, a quantidade é positiva e obtém-se
Nesse caso a curva de nível
é a circunferência centrada na origem de raio
:
- Para
não há pontos do domínio que satisfaçam (não existem curvas de nível nesses níveis).
Geometricamente: as curvas de nível são círculos concêntricos com centro na origem. À medida que
aumenta a circunferência tem raio maior, aproximando-se de raio
quando
. O nível mínimo
corresponde ao centro (um ponto), e não há curvas de nível fora do disco de raio
.
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia:
- Para
: , então a curva de nível é (raio ). - Para
: , então (raio ). - Para
muito grande, é quase e : as curvas estão muito próximas da circunferência limite , mas essa circunferência não pertence ao domínio.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: para
a curva de nível é o ponto
. Para
a curva de nível é a circunferência centrada na origem de raio
, isto é
.