Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
f(x, y)=x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
As perguntas que precisamos responder são:
  • Encontrar o domínio de f.
  • Encontrar a imagem (conjunto-valor, ou range) de f.
  • Descrever as curvas de nível de f, ou seja, o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=k\} para valores gerais de k\in\mathbb{R}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita f(x,y)=x^{2}-y^{2}.
  • Não há restrições adicionais sobre x e y no enunciado.

Passo 2

Definição de domínio e aplicação ao caso concreto (o quê significa “domínio” e por que aqui é simples).
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares (x,y) onde a expressão que define f faz sentido (está bem definida, não gera divisão por zero, raiz de número negativo, log de número não positivo, etc.). No nosso caso a expressão é um polinômio em x e y:
x^{2}-y^{2},
polinômios são definidos para todo número real. Portanto qualquer par (x,y)\in\mathbb{R}^2 é permitido.
Conclusão intermediária (domínio): o domínio é todo o plano \mathbb{R}^2.

Passo 3

O que é “imagem” (range) e estratégia para mostrar qual é a imagem aqui.
A imagem de f é o conjunto de valores reais z tais que existe algum (x,y) com f(x,y)=z. Para provar que a imagem é um conjunto (por exemplo, \mathbb{R}), normalmente é suficiente, para cada c\in\mathbb{R}, construir explicitamente um par (x,y) com x^{2}-y^{2}=c.
Vamos fazer isso em duas partes: c\ge 0 e c<0.
  • Caso c\ge 0: escolha y=0. Então f(x,0)=x^{2}. Tomando x=\sqrt{c} (ou x=-\sqrt{c}) obtemos f(x,0)=c. Portanto todo c\ge 0 está na imagem.
  • Caso c<0: escolha x=0. Então f(0,y)=-y^{2}. Tomando y=\sqrt{-c} (ou y=-\sqrt{-c}) obtemos f(0,y)=c. Portanto todo c<0 também está na imagem.
Dessas construções segue que qualquer c\in\mathbb{R} é atingido por f. Assim a imagem é todo \mathbb{R}.

Passo 4

Resumo didático sobre por que a função é “indefinida em sinal” (intuindo forma das curvas) e conexão com as curvas de nível.
A expressão x^{2}-y^{2} pode assumir valores positivos, negativos ou zero dependendo de x e y. As curvas de nível são as equações
x^{2}-y^{2}=k,
com k fixo. Essas equações representam, geometricamente, hipérbolas ou casos degenerados quando k=0. Vou tratar separadamente k=0, k>0 e k<0.

Passo 5

Caso k=0. Resolução e interpretação geométrica detalhada.
Para k=0 temos
x^{2}-y^{2}=0.
Fatorando:
(x-y)(x+y)=0.
Portanto x-y=0 ou x+y=0. Isso dá duas retas no plano:
y=x \qquad\text{e}\qquad y=-x.
Estas são linhas que passam pela origem com inclinações +1 e -1. Assim a curva de nível para k=0 é a união das duas retas y=\pm x.

Passo 6

Caso k>0. Colocação na forma padrão de hipérbola e descrição geométrica.
Se k>0 escrevemos
x^{2}-y^{2}=k \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{k}-\frac{y^{2}}{k}=1.
Isto é a equação padrão de uma hipérbola centrada na origem, com eixos alinhados com os eixos coordenados, cujo eixo transverso está ao longo do eixo x. Características importantes:
  • As duas componentes (ramos) da hipérbola ficam onde |x|>|y|, ou seja, afastadas ao longo da direção horizontal (branche à direita e à esquerda).
  • Vértices: pontos sobre o eixo x onde y=0, ou seja (\pm\sqrt{k},0).
  • Assíntotas: as retas que a curva aproxima quando |x|\to\infty. Dividindo a equação por x^{2} e fazendo |x|\to\infty obtém-se 1-(y/x)^{2}\to 0, logo y/x\to\pm 1. Assim as assíntotas são as linhas y=\pm x. Essas mesmas retas surgiram no caso k=0.
Uma parametrização prática (útil para esboçar) para k>0 é
x=\pm\sqrt{k}\operatorname{cosh} t,\qquad y=\sqrt{k}\operatorname{sinh} t,\qquad t\in\mathbb{R},
onde \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} são as funções hiperbólicas; essa parametrização percorre cada ramo da hipérbola.

Passo 7

Caso k<0. Transformação e descrição geométrica.
Se k<0 é conveniente escrever k=-\ell com \ell>0. Então
x^{2}-y^{2}=-\ell \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}-x^{2}=\ell \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y^{2}}{\ell}-\frac{x^{2}}{\ell}=1.
Isto é uma hipérbola também, mas agora o eixo transverso está ao longo do eixo y: as duas componentes ficam onde |y|>|x|, abrindo para cima e para baixo. Características:
  • Vértices: pontos sobre o eixo y onde x=0, ou seja (0,\pm\sqrt{\ell})=(0,\pm\sqrt{-k}).
  • Assíntotas: novamente y=\pm x (as mesmas retas).
    Uma parametrização para estes ramos é
y=\pm\sqrt{-k}\operatorname{cosh} t,\qquad x=\sqrt{-k}\operatorname{sinh} t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 8

Interpretação geométrica unificada e dicas de esboço (como desenhar as curvas de nível rapidamente na prova).
  • Para qualquer k\neq 0 a curva de nível x^{2}-y^{2}=k é uma hipérbola centrada na origem.
  • O sinal de k determina a orientação:
    • k>0: hipérbola com ramos horizontais (abrindo para a direita e para a esquerda).
    • k<0: hipérbola com ramos verticais (abrindo para cima e para baixo).
  • O caso k=0 é o caso limite onde a hipérbola colapsa nas suas assíntotas, resultando nas duas retas y=\pm x.
  • Em todos os casos as assíntotas são as linhas y=\pm x.
  • Exemplos fáceis para esboço:
    • k=1: hipérbola com vértices (\pm 1,0).
    • k=-1: hipérbola com vértices (0,\pm 1).
    • k=0: linhas y=\pm x.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}
Imagem: \mathbb{R}
Curvas de nível: Para cada k\in\mathbb{R},
\{(x,y)\mid x^{2}-y^{2}=k\}= \begin{cases} \text{duas retas }y=\pm x,& k=0,\\[4pt] \text{hipérbole com eixo transverso horizontal (ramos em }|x|>|y|\text{)},& k>0,\\[4pt] \text{hipérbole com eixo transverso vertical (ramos em }|y|>|x|\text{)},& k<0. \end{cases}éé

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