Nos seguintes exercícios, encontre o domínio, encontre a imagem, e descreva as curvas de nível da função:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
As perguntas que precisamos responder são:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto-valor, ou range) de
. - Descrever as curvas de nível de
, ou seja, o conjunto para valores gerais de .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A fórmula explícita
. - Não há restrições adicionais sobre
e no enunciado.
Passo 2
Definição de domínio e aplicação ao caso concreto (o quê significa “domínio” e por que aqui é simples).
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares
onde a expressão que define
faz sentido (está bem definida, não gera divisão por zero, raiz de número negativo, log de número não positivo, etc.). No nosso caso a expressão é um polinômio em
e
:
polinômios são definidos para todo número real. Portanto qualquer par
é permitido.
Conclusão intermediária (domínio): o domínio é todo o plano
.
Passo 3
O que é “imagem” (range) e estratégia para mostrar qual é a imagem aqui.
A imagem de
é o conjunto de valores reais
tais que existe algum
com
. Para provar que a imagem é um conjunto (por exemplo,
), normalmente é suficiente, para cada
, construir explicitamente um par
com
.
Vamos fazer isso em duas partes:
e
.
-
Caso
: escolha . Então . Tomando (ou ) obtemos . Portanto todo está na imagem. -
Caso
: escolha . Então . Tomando (ou ) obtemos . Portanto todo também está na imagem.
Dessas construções segue que qualquer
é atingido por
. Assim a imagem é todo
.
Passo 4
Resumo didático sobre por que a função é “indefinida em sinal” (intuindo forma das curvas) e conexão com as curvas de nível.
A expressão
pode assumir valores positivos, negativos ou zero dependendo de
e
. As curvas de nível são as equações
com
fixo. Essas equações representam, geometricamente, hipérbolas ou casos degenerados quando
. Vou tratar separadamente
,
e
.
Passo 5
Caso
. Resolução e interpretação geométrica detalhada.
Para
temos
Fatorando:
Portanto
ou
. Isso dá duas retas no plano:
Estas são linhas que passam pela origem com inclinações
e
. Assim a curva de nível para
é a união das duas retas
.
Passo 6
Caso
. Colocação na forma padrão de hipérbola e descrição geométrica.
Se
escrevemos
Isto é a equação padrão de uma hipérbola centrada na origem, com eixos alinhados com os eixos coordenados, cujo eixo transverso está ao longo do eixo
. Características importantes:
- As duas componentes (ramos) da hipérbola ficam onde
, ou seja, afastadas ao longo da direção horizontal (branche à direita e à esquerda). - Vértices: pontos sobre o eixo
onde , ou seja . - Assíntotas: as retas que a curva aproxima quando
. Dividindo a equação por e fazendo obtém-se , logo . Assim as assíntotas são as linhas . Essas mesmas retas surgiram no caso .
Uma parametrização prática (útil para esboçar) para
é
onde
e
são as funções hiperbólicas; essa parametrização percorre cada ramo da hipérbola.
Passo 7
Caso
. Transformação e descrição geométrica.
Se
é conveniente escrever
com
. Então
Isto é uma hipérbola também, mas agora o eixo transverso está ao longo do eixo
: as duas componentes ficam onde
, abrindo para cima e para baixo. Características:
- Vértices: pontos sobre o eixo
onde , ou seja . - Assíntotas: novamente
(as mesmas retas).
Uma parametrização para estes ramos é
Passo 8
Interpretação geométrica unificada e dicas de esboço (como desenhar as curvas de nível rapidamente na prova).
- Para qualquer
a curva de nível é uma hipérbola centrada na origem. - O sinal de
determina a orientação: -
: hipérbola com ramos horizontais (abrindo para a direita e para a esquerda). -
: hipérbola com ramos verticais (abrindo para cima e para baixo).
-
- O caso
é o caso limite onde a hipérbola colapsa nas suas assíntotas, resultando nas duas retas . - Em todos os casos as assíntotas são as linhas
. - Exemplos fáceis para esboço:
-
: hipérbola com vértices . -
: hipérbola com vértices . -
: linhas .
-
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: Para cada
,