Nos seguintes exercícios encontre
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
e
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
Portanto precisamos derivar componente a componente: a componente em
é
e a componente em
é
.
Passo 2
Vamos derivar a componente em
:
.
Relembre a regra básica: a derivada de em relação a
é
(isso é a regra da cadeia). Aqui
e
.
Aplicando isso:
Relembre a regra básica: a derivada de
Aplicando isso:
Então a parte em
de
é
.
Passo 3
Agora derivamos a componente em
:
.
Relembrando: a derivada de é
(nova vez a regra da cadeia). Aqui
e
.
Aplicando:
Relembrando: a derivada de
Aplicando:
Portanto
Passo 4
Agora vamos achar
derivando
componente a componente. Começamos pela componente em
:
.
Relembre: a derivada de é
. Aqui
com
. Assim:
Relembre: a derivada de
Então a parte em
de
é
.
Passo 5
Agora derivamos a parte em
de
:
. Aqui temos um produto de duas funções de
:
e
. Usamos a regra do produto:
. Também usaremos a regra da cadeia para
e
.
Calcule
e
:
Aplicando a regra do produto para
:
Fatorando
:
Como a parte original é
, sua derivada é
. Portanto a componente em
de
é
Observação útil (identidade trigonométrica):
. Se quisermos, podemos usar isso para escrever
então outra forma equivalente é
.
Passo 6
Reunindo as duas componentes, temos a segunda derivada completa:
Ou, usando a identidade anterior,