Nos seguintes exercícios encontre \mathbf{R}^{\prime}(t) e \mathbf{R}^{\prime \prime}(t).
\mathbf{R}(t)=5 \operatorname{sen} 2 t \mathbf{i}-\operatorname{sec} 4 t \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \mathbf{R}'(t) e \mathbf{R}''(t).
As informações dadas são:
\mathbf{R}(t)=5\sin(2t)\,\mathbf{i}-\operatorname{sec}(4t)\,\mathbf{j}.
Portanto precisamos derivar componente a componente: a componente em \mathbf{i} é 5\sin(2t) e a componente em \mathbf{j} é -\operatorname{sec}(4t).

Passo 2

Vamos derivar a componente em \mathbf{i}: 5\sin(2t).
Relembre a regra básica: a derivada de \sin(u) em relação a t é \cos(u)\cdot u' (isso é a regra da cadeia). Aqui u(t)=2t e u'(t)=2.
Aplicando isso:
\frac{d}{dt}\big(5\sin(2t)\big)=5\cdot\frac{d}{dt}\big(\sin(2t)\big)=5\cdot\big(\cos(2t)\cdot 2\big)=10\cos(2t).
Então a parte em \mathbf{i} de \mathbf{R}'(t) é 10\cos(2t).

Passo 3

Agora derivamos a componente em \mathbf{j}: -\operatorname{sec}(4t).
Relembrando: a derivada de \operatorname{sec}(u) é \operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot u' (nova vez a regra da cadeia). Aqui u(t)=4t e u'(t)=4.
Aplicando:
\frac{d}{dt}\big(-\operatorname{sec}(4t)\big)=-\big(\operatorname{sec}(4t)\tan(4t)\cdot 4\big)=-4\operatorname{sec}(4t)\tan(4t).
Portanto
\mathbf{R}'(t)=10\cos(2t)\,\mathbf{i}-4\operatorname{sec}(4t)\tan(4t)\,\mathbf{j}.

Passo 4

Agora vamos achar \mathbf{R}''(t) derivando \mathbf{R}'(t) componente a componente. Começamos pela componente em \mathbf{i}: 10\cos(2t).
Relembre: a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Aqui u(t)=2t com u'(t)=2. Assim:
\frac{d}{dt}\big(10\cos(2t)\big)=10\cdot\big(-\sin(2t)\cdot 2\big)=-20\sin(2t).
Então a parte em \mathbf{i} de \mathbf{R}''(t) é -20\sin(2t).

Passo 5

Agora derivamos a parte em \mathbf{j} de \mathbf{R}'(t): -4\operatorname{sec}(4t)\tan(4t). Aqui temos um produto de duas funções de t: u(t)=\operatorname{sec}(4t) e v(t)=\tan(4t). Usamos a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Também usaremos a regra da cadeia para u' e v'.
Calcule u' e v':
u'(t)=\frac{d}{dt}\operatorname{sec}(4t)=\operatorname{sec}(4t)\tan(4t)\cdot 4,
v'(t)=\frac{d}{dt}\tan(4t)=\operatorname{sec}^2(4t)\cdot 4.
Aplicando a regra do produto para f(t)=\operatorname{sec}(4t)\tan(4t):
f'(t)=u'v+uv' = 4\operatorname{sec}(4t)\tan(4t)\cdot\tan(4t) + 4\operatorname{sec}(4t)\cdot\operatorname{sec}^2(4t).
Fatorando 4\operatorname{sec}(4t):
f'(t)=4\operatorname{sec}(4t)\big(\tan^2(4t)+\operatorname{sec}^2(4t)\big).
Como a parte original é -4f(t), sua derivada é -4f'(t). Portanto a componente em \mathbf{j} de \mathbf{R}''(t) é
-4\cdot 4\operatorname{sec}(4t)\big(\tan^2(4t)+\operatorname{sec}^2(4t)\big)=-16\operatorname{sec}(4t)\big(\tan^2(4t)+\operatorname{sec}^2(4t)\big).
Observação útil (identidade trigonométrica): \operatorname{sec}^2(x)=1+\tan^2(x). Se quisermos, podemos usar isso para escrever
\tan^2(4t)+\operatorname{sec}^2(4t)=\tan^2(4t)+1+\tan^2(4t)=1+2\tan^2(4t),
então outra forma equivalente é -16\operatorname{sec}(4t)\big(1+2\tan^2(4t)\big).

Passo 6

Reunindo as duas componentes, temos a segunda derivada completa:
\mathbf{R}''(t)=-20\sin(2t)\,\mathbf{i}-16\operatorname{sec}(4t)\big(\tan^2(4t)+\operatorname{sec}^2(4t)\big)\,\mathbf{j}.
Ou, usando a identidade anterior,
\mathbf{R}''(t)=-20\sin(2t)\,\mathbf{i}-16\operatorname{sec}(4t)\big(1+2\tan^2(4t)\big)\,\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{R}'(t)=10\cos(2t)\,\mathbf{i}-4\operatorname{sec}(4t)\tan(4t)\,\mathbf{j}
\mathbf{R}''(t)=-20\sin(2t)\,\mathbf{i}-16\operatorname{sec}(4t)\big(\tan^2(4t)+\operatorname{sec}^2(4t)\big)\,\mathbf{j}

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