Nos seguintes exercícios, encontre uma relação entre x e y e esboce o gráfico das curvas parametrizadas usando esta relação:
lx=t^2-2 t y=t+1, t in R

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = t^2 - 2t, y = t + 1, tinR,
e pede que a gente elimine o parâmetro t para encontrar uma relação entre x e y e, em seguida, esboce o gráfico dessa curva no plano xy.

Passo 2

Da segunda equação isolamos t:
y = t + 1 Longrightarrow t = y - 1
Substituindo em x = t^2 - 2t:
x = (y - 1)^2 - 2(y - 1)
Agora é só expandir e simplificar:
(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1, -2(y - 1) = -2y + 2,
therefore x = l(y^2 - 2y + 1r) + l(-2y + 2r) = y^2 - 4y + 3

Passo 3

Para entender o gráfico, completamos o quadrado em y:
x = y^2 - 4y + 3 = (y^2 - 4y + 4) - 1 = (y - 2)^2 - 1
Isto mostra que é uma parábola com:
  • vértice em l(x,yr)=(-1,2),
  • eixo paralelo ao eixo x (horizontal),
  • concavidade para a direita.
Podemos marcar alguns pontos para esboçar:
  • se y=0, então x = 0 - 0 + 3 = 3, ponto (3,0);
  • se y=1, então x = 1 - 4 + 3 = 0, ponto (0,1);
  • se y=3, então x = 9 - 12 + 3 = 0, ponto (0,3).
Ligando esses pontos em forma de “U” voltado para a direita, com vértice em (-1,2), temos o esboço da curva.

Resposta

A relação cartesiana é
x = y^2 - 4y + 3 = (y - 2)^2 - 1
O gráfico é uma parábola de vértice em (-1,2), eixo paralelo ao eixo x e concavidade para a direita.

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