Quais das seguintes expressões vetoriais são corretas (significativas)? O que há de errado com qualquer expressão incorreta?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a expressão
é correta (significativa) e, se não for, explicar o que há de errado.
Informações dadas:
é correta (significativa) e, se não for, explicar o que há de errado.
Informações dadas:
- As letras
, , representam vetores. - A notação
indica o produto escalar entre e .
Passo 2
O que é o produto escalar e qual o seu resultado?
- Definição: o produto escalar entre dois vetores
e é um número (um escalar). Em componentes, em ,
onde
e
são as componentes dos vetores.
- Portanto, o resultado de
é um escalar. Vou chamar esse escalar de , isto é,
Passo 3
O que significa somar vetores?
- Regra: a soma
só faz sentido se e forem ambos vetores do mesmo espaço vetorial (mesma dimensão). A soma é feita componente a componente:
- Não existe definição padrão para somar um vetor e um escalar (por exemplo
não é uma operação vetorial bem definida).
Passo 4
Aplicando isso à expressão dada:
- Escrevendo explicitamente,
é com escalar. Isso tenta somar um vetor com um escalar . Pela regra anterior, isso NÃO é definido. - Em componentes, se
e , a escrita não tem significado matemático padrão: não se sabe como combinar com as componentes sem uma convenção extra. Logo a expressão é incorreta/sem sentido.
Passo 5
Outras maneiras de ver o problema (unidades e coerência):
- Se os vetores representam grandezas físicas (por exemplo força) e o produto escalar dá um trabalho (energia), então tentar somar uma força com uma energia é nonsense dimensional. Portanto, além da forma matemática, há incoerência de unidades.
Passo 6
Como corrigir / tornar a expressão significativa (opções comuns):
- Converter o escalar em vetor multiplicando por um vetor unitário
apropriado:
agora soma dois vetores (é necessário especificar qual
; uma escolha natural seria
se
).
- Converter o vetor em escalar tomando a magnitude e somando escalares:
mas aí o resultado é escalar.
- Trocar o produto escalar por um produto vetorial (quando apropriado):
é significativo porque é um vetor (note: produto vetorial existe naturalmente em ). Isso muda, porém, totalmente o significado físico/matemático.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia:
- Seja
, , . Então
A expressão
não é definida. Para consertar, por exemplo
é uma soma entre vetores bem definida (aqui multiplicou-se o escalar por um vetor unitário).
Resposta
A expressão
não é significativa:
é um escalar e não se pode somar um vetor com um escalar.