Quais das seguintes expressões vetoriais são corretas (significativas)? O que há de errado com qualquer expressão incorreta?
\vec{A}+(\vec{B} \cdot \vec{C})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a expressão
\vec{A}+(\vec{B}\cdot\vec{C})
é correta (significativa) e, se não for, explicar o que há de errado.
Informações dadas:
  • As letras \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} representam vetores.
  • A notação \vec{B}\cdot\vec{C} indica o produto escalar entre \vec{B} e \vec{C}.

Passo 2

O que é o produto escalar e qual o seu resultado?
  • Definição: o produto escalar entre dois vetores \vec{B} e \vec{C} é um número (um escalar). Em componentes, em \mathbb{R}^3,
\vec{B}\cdot\vec{C}=B_x C_x+B_y C_y+B_z C_z,
onde B_x,B_y,B_z e C_x,C_y,C_z são as componentes dos vetores.
  • Portanto, o resultado de \vec{B}\cdot\vec{C} é um escalar. Vou chamar esse escalar de s, isto é,
s=\vec{B}\cdot\vec{C}\in\mathbb{R}.

Passo 3

O que significa somar vetores?
  • Regra: a soma \vec{U}+\vec{V} só faz sentido se \vec{U} e \vec{V} forem ambos vetores do mesmo espaço vetorial (mesma dimensão). A soma é feita componente a componente:
\vec{U}+\vec{V}=(U_x+V_x,\,U_y+V_y,\,U_z+V_z).
  • Não existe definição padrão para somar um vetor e um escalar (por exemplo (U_x,U_y,U_z)+s não é uma operação vetorial bem definida).

Passo 4

Aplicando isso à expressão dada:
  • Escrevendo explicitamente, \vec{A}+(\vec{B}\cdot\vec{C}) é \vec{A}+s com s escalar. Isso tenta somar um vetor \vec{A} com um escalar s. Pela regra anterior, isso NÃO é definido.
  • Em componentes, se \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e s=\vec{B}\cdot\vec{C}, a escrita (A_x,A_y,A_z)+s não tem significado matemático padrão: não se sabe como combinar s com as componentes A_x,A_y,A_z sem uma convenção extra. Logo a expressão é incorreta/sem sentido.

Passo 5

Outras maneiras de ver o problema (unidades e coerência):
  • Se os vetores representam grandezas físicas (por exemplo força) e o produto escalar dá um trabalho (energia), então tentar somar uma força com uma energia é nonsense dimensional. Portanto, além da forma matemática, há incoerência de unidades.

Passo 6

Como corrigir / tornar a expressão significativa (opções comuns):
  • Converter o escalar em vetor multiplicando por um vetor unitário \hat{u} apropriado:
\vec{A}+(\vec{B}\cdot\vec{C})\,\hat{u}
agora soma dois vetores (é necessário especificar qual \hat{u}; uma escolha natural seria \hat{u}=\dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} se \vec{A}\neq\vec{0}).
  • Converter o vetor em escalar tomando a magnitude e somando escalares:
|\vec{A}|+(\vec{B}\cdot\vec{C}),
mas aí o resultado é escalar.
  • Trocar o produto escalar por um produto vetorial (quando apropriado): \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) é significativo porque \vec{B}\times\vec{C} é um vetor (note: produto vetorial existe naturalmente em \mathbb{R}^3). Isso muda, porém, totalmente o significado físico/matemático.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia:
  • Seja \vec{A}=(1,2,3), \vec{B}=(1,2,3), \vec{C}=(4,5,6). Então
\vec{B}\cdot\vec{C}=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=32.
A expressão \vec{A}+32 não é definida. Para consertar, por exemplo
\vec{A}+32\cdot\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}
é uma soma entre vetores bem definida (aqui multiplicou-se o escalar por um vetor unitário).

Resposta

A expressão \vec{A}+(\vec{B}\cdot\vec{C}) não é significativa: \vec{B}\cdot\vec{C} é um escalar e não se pode somar um vetor com um escalar.

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