As seguintes forças são aplicadas a uma partícula:
F1=(-3,0 N / m^2) x^2 i+(4,0 N / m) y j e F2=(5,0 N / m^2) x^2 i+(4,0 N / m) y j
Determine o trabalho realizado sobre a partícula ao se mover por uma distância total de 5,0 m, em uma linha reta do ponto ri=(2,0 m, 2,0 m) até o ponto rf=(5,0 m, 6,0 m).

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos duas forças variáveis aplicadas numa partícula,
vec F1 = (-3,0),x^2,hatimath + (4,0),y,hatjmath e vec F2 = (5,0),x^2,hatimath + (4,0),y,hatjmath,
e a partícula vai de até ao longo de uma reta de comprimento 5 m.
O conteúdo aqui é “trabalho de uma força variável” (integral de linha de um campo vetorial).
Vamos precisar de:
  1. Somar as forças pra ter o campo total .
  2. Parametrizar o caminho reto de a .
  3. Calcular a integral .

Passo 2

Primeiro, some as forças componente a componente:
vec F = vec F1 + vec F2 = l((-3,0)+(5,0)r)x^2,hatimath + l(4,0+4,0r)y,hatjmath = 2,x^2,hatimath + 8,y,hatjmath
Isso significa que, em cada ponto , a força total é .

Passo 3

Parametriza o trecho reto de vec r(t) = (x(t),y(t)) = (2,2) + tl((5,6)-(2,2)r) = l(2+3t,;2+4tr) a dvec rdt = (3,4), dvec r = (3,4),dt com um parâmetro :
Então

Passo 4

O trabalho é
W = integralri^rf vec Fcdot dvec r = integral0^1 l(2x(t)^2,,8y(t)r)cdot(3,4);dt
Substituindo vec Fcdotdvec rdt = 2,(2+3t)^2cdot3 ;+; 8,(2+4t)cdot4 = 6,(2+3t)^2 +32,(2+4t) e 6,(2+3t)^2 = 6,(4 +12t+9t^2) = 24 +72t+54t^2, :
32,(2+4t) = 64 +128t,
Agora expandindo e integrando de 0 a 1:
Rightarrow vec F!cdot!dvec rdt = (24+64) + (72+128)t +54t^2 = 88 +200,t +54,t^2
W = integral0^1 (88 +200t +54t^2),dt = l[88t +100t^2 +18t^3r]0^1 = 88 +100 +18 = 206;J
Então

Resposta

O trabalho total realizado sobre a partícula ao longo do deslocamento é .

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