1. Qual das seguintes fórmulas é uma contradição?
    a. (P \wedge \neg P) \vee Q
    b. \mathrm{P} \rightarrow(\mathrm{Q} \vee \neg \mathrm{Q})
    c. (P \wedge Q) \wedge \neg P
    d. \neg(P \vee \neg P)

Passo 1

O enunciado pergunta qual fórmula é uma contradição, ou seja, uma fórmula que fica falsa para toda atribuição de valores de verdade. Vamos usar a definição de contradição (sempre falsa), de tautologia (sempre verdadeira) e de fórmula contingente (às vezes verdadeira, às vezes falsa) para testar cada item.

Passo 2

Analisando (P \land \neg P) \lor Q
Observação: P \land \neg P é sempre falso. Logo
(P \land \neg P)\lor Q \equiv \text{Falso}\lor Q \equiv Q.
Como depende de Q, às vezes é verdadeiro e às vezes falso. Portanto é uma fórmula contingente, não uma contradição.

Passo 3

Analisando P \rightarrow (Q \lor \neg Q)
Sabemos que Q \lor \neg Q é uma tautologia (sempre verdadeiro). Logo
P \rightarrow (Q \lor \neg Q)\equiv P \rightarrow \text{Verdadeiro}\equiv \text{Verdadeiro}.
Isto é, a fórmula é sempre verdadeira, uma tautologia, não uma contradição.

Passo 4

Analisando (P \land Q) \land \neg P
Podemos reescrever
(P \land Q)\land \neg P \equiv (P \land \neg P)\land Q.
Mas P \land \neg P é sempre falso, e falso conjungado com qualquer coisa é sempre falso. Logo esta fórmula é sempre falsa, uma contradição.

Passo 5

Analisando \neg(P \lor \neg P)
Sabemos que P \lor \neg P é uma tautologia (lei do terceiro excluído). Negando-a, obtemos sempre falso:
\neg(P \lor \neg P)\equiv \neg(\text{Verdadeiro})\equiv \text{Falso}.
Portanto esta também é sempre falsa, uma contradição.

Resposta

As fórmulas que são contradições são as alternativas (c) e (d).

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