Para as seguintes funções h(x), decomponha-a como compostas de funções mais simples
h(x)=2 e^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função h(x)=2\mathrm{e}^{x+1} como composta de funções mais simples.
Informações dadas:
  • A função é h(x)=2\mathrm{e}^{x+1}.
  • Não há outras restrições (domínio implícito é todo \mathbb{R} para esta expressão).

Passo 2

O que significa “decompor como composta de funções”? Vou explicar devagar: se temos duas funções f e g, o composto f\circ g é a função que aplica primeiro g e depois f. Ou seja, (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big). Cada uma dessas letras ( f,g) representa uma função mais simples. Na prova você normalmente identifica uma expressão interna (o que acontece primeiro) e uma externa (o que acontece depois) e as escreve como funções separadas.

Passo 3

Olhe para h(x)=2\mathrm{e}^{x+1} e identifique as operações em camadas (de dentro para fora):
  • Dentro: x+1 — soma de x com 1.
  • Depois: aplicação do exponencial: \mathrm{e}^{(\cdot)}.
  • Por fim: multiplicar o resultado por 2.
Essas três camadas sugerem uma decomposição em três funções que se compõem em cadeia.

Passo 4

Defina funções para cada camada. Uma escolha natural é:
n(x)=x+1, \qquad m(t)=\mathrm{e}^{t}, \qquad k(s)=2s.
Aqui explique o que é cada variável:
  • Em n(x)=x+1, a variável independente é x.
  • Em m(t)=\mathrm{e}^{t}, a variável intermediária é t (que receberá n(x)).
  • Em k(s)=2s, a variável final é s (que receberá m(n(x))).
Agora verifique a composição passo a passo:
(m\circ n)(x)=m\big(n(x)\big)=m(x+1)=\mathrm{e}^{x+1}.
(k\circ (m\circ n))(x)=k\big((m\circ n)(x)\big)=k\big(\mathrm{e}^{x+1}\big)=2\mathrm{e}^{x+1}.
Portanto a composição k\circ m\circ n retorna exatamente h.

Passo 5

Mostre outra decomposição igualmente válida, mais curta: agrupe as duas últimas operações. Defina
q(x)=\mathrm{e}^{x+1}, \qquad p(u)=2u.
Então
(p\circ q)(x)=p\big(q(x)\big)=p\big(\mathrm{e}^{x+1}\big)=2\mathrm{e}^{x+1}=h(x).
Ambas as decomposições são corretas; uma tem três funções (mais “fina”), a outra tem duas (mais “grossa”).

Passo 6

Dicas práticas para a prova (como fazer rápido):
  • Procure a operação que está mais “por dentro” (aquela que você faria primeiro ao avaliar a expressão) — ela vira a função interna.
  • Cada operação externa vira outra função. Exemplos de operações externas: aplicar \mathrm{e}^{(\cdot)}, tirar raiz, elevar ao quadrado, multiplicar por constante, somar constante, etc.
  • Se pedirem várias formas de decompor, dê uma com o máximo de camadas (cada operação separada) e outra mais compacta (agrupar operações).

Passo 7

Exemplo rápido extra para treinar: decomponha f(x)=\sqrt{3x+2}.
  • Interna: r(x)=3x+2.
  • Externa: s(y)=\sqrt{y}.
    Verificação: (s\circ r)(x)=s(r(x))=\sqrt{3x+2}=f(x).

Resposta

h(x)=\big(k\circ m\circ n\big)(x), com n(x)=x+1, m(t)=\mathrm{e}^{t}, k(s)=2s.
h(x)=\big(p\circ q\big)(x), com q(x)=\mathrm{e}^{x+1}, p(u)=2u.

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