Para as seguintes funções, determine conjunto aberto no qual são analíticas e verifique quais são funções inteiras.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
. As perguntas são:
- Determinar o conjunto aberto no qual
é analítica. - Verificar se
é uma função inteira.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está escrita em termos das coordenadas reais
e . - Podemos separar a parte real e imaginária:
e .
Passo 2
Rápida explicação do que significa “analítica” e “inteira” (aula curta e direta):
- Uma função
é holomorfa (analítica) num ponto se tem derivada complexa nesse ponto e num vizinho aberto dele. Uma forma prática para verificar isso é usar as equações de Cauchy–Riemann (CR) quando com diferenciáveis. - As equações de Cauchy–Riemann são
Aqui
significa
, etc. Além de satisfazerem CR, é necessário que
sejam contínuas na região considerada.
- Uma função é inteira se for holomorfa em todo o plano complexo
.
Passo 3
Calcular explicitamente
e
e suas derivadas parciais (mostrando cada conta para tu fazer na prova sem calculadora):
Derivadas parciais em relação a
:
Derivadas parciais em relação a
:
Passo 4
Verificar as equações de Cauchy–Riemann:
Compare com
:
Compare
Compare
com
:
As quatro derivadas parciais são funções contínuas em todo
. Portanto as condições do teorema de Cauchy–Riemann com regularidade são satisfeitas em todo ponto
. Conclusão:
é holomorfa em todo o plano
.
Passo 5
Interpretação alternativa (útil para a prova, reconhecimento de forma): escrever
como função composta conhecida. Note que
Logo
A função exponencial
é inteira e
é toda (polinomial), então a composição
é inteira. Essa observação confirma e dá um modo mais rápido de concluir que
é inteira.
Passo 6
Cálculo da derivada complexa (útil para a prova): usando a forma
a derivada é
Também pode-se obter
a partir das derivadas parciais usando a fórmula
:
coincidindo com a derivada obtida pela regra da cadeia para exponencial.
Resposta
Conjunto aberto onde
é analítica:
É inteira: Sim (
é inteira, pois
).