Para as seguintes funções, determine conjunto aberto no qual são analíticas e verifique quais são funções inteiras.
f(z)=e^{-y}(\cos x+i \operatorname{sen} x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=e^{-y}\big(\cos x+i\operatorname{sen} x\big)
onde z=x+iy. As perguntas são:
  • Determinar o conjunto aberto no qual f é analítica.
  • Verificar se f é uma função inteira.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está escrita em termos das coordenadas reais x e y.
  • Podemos separar a parte real e imaginária: u(x,y)=e^{-y}\cos x e v(x,y)=e^{-y}\sin x.

Passo 2

Rápida explicação do que significa “analítica” e “inteira” (aula curta e direta):
  • Uma função f é holomorfa (analítica) num ponto se tem derivada complexa nesse ponto e num vizinho aberto dele. Uma forma prática para verificar isso é usar as equações de Cauchy–Riemann (CR) quando f=u+iv com u,v diferenciáveis.
  • As equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Aqui u_x significa \dfrac{\partial u}{\partial x}, etc. Além de satisfazerem CR, é necessário que u_x,u_y,v_x,v_y sejam contínuas na região considerada.
  • Uma função é inteira se for holomorfa em todo o plano complexo \mathbb{C}.

Passo 3

Calcular explicitamente u e v e suas derivadas parciais (mostrando cada conta para tu fazer na prova sem calculadora):
u(x,y)=e^{-y}\cos x,\qquad v(x,y)=e^{-y}\sin x.
Derivadas parciais em relação a x:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-y}\cos x\big)=e^{-y}\cdot(-\sin x)=-e^{-y}\sin x,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-y}\sin x\big)=e^{-y}\cos x.
Derivadas parciais em relação a y:
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{-y}\cos x\big)=(-e^{-y})\cos x=-e^{-y}\cos x,
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{-y}\sin x\big)=(-e^{-y})\sin x=-e^{-y}\sin x.

Passo 4

Verificar as equações de Cauchy–Riemann:
Compare u_x com v_y:
u_x = -e^{-y}\sin x,\qquad v_y = -e^{-y}\sin x \quad\Rightarrow\quad u_x = v_y.
Compare u_y com -v_x:
u_y = -e^{-y}\cos x,\qquad -v_x = -\big(e^{-y}\cos x\big)=-e^{-y}\cos x \quad\Rightarrow\quad u_y = -v_x.
As quatro derivadas parciais são funções contínuas em todo \mathbb{R}^2. Portanto as condições do teorema de Cauchy–Riemann com regularidade são satisfeitas em todo ponto (x,y). Conclusão: f é holomorfa em todo o plano \mathbb{C}.

Passo 5

Interpretação alternativa (útil para a prova, reconhecimento de forma): escrever f como função composta conhecida. Note que
e^{iz}=e^{i(x+iy)}=e^{ix-y}=e^{-y}e^{ix}=e^{-y}\big(\cos x+i\sin x\big).
Logo
f(z)=e^{-y}\big(\cos x+i\sin x\big)=e^{iz}.
A função exponencial e^{w} é inteira e w\mapsto iz é toda (polinomial), então a composição z\mapsto e^{iz} é inteira. Essa observação confirma e dá um modo mais rápido de concluir que f é inteira.

Passo 6

Cálculo da derivada complexa (útil para a prova): usando a forma f(z)=e^{iz} a derivada é
f'(z)=\frac{d}{dz}e^{iz}=i e^{iz}.
Também pode-se obter f'(z) a partir das derivadas parciais usando a fórmula f'(z)=u_x+i v_x:
u_x+i v_x = -e^{-y}\sin x + i\big(e^{-y}\cos x\big)=i e^{-y}\big(\cos x + i\sin x\big)=i e^{iz},
coincidindo com a derivada obtida pela regra da cadeia para exponencial.

Resposta

Conjunto aberto onde f é analítica: \mathbb{C}
É inteira: Sim ( f é inteira, pois f(z)=e^{iz} ).

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