Para as seguintes funções
, encontre o discriminante de
e determine se as razões são reais e diferentes, reais e iguais, ou não existem. Esboce o gráfico de
sem desenhar mais de quatro pontos.
Passo 1
O enunciado pede para a função quadrática f(x)=x²–a x–1: calcular o discriminante de f(x)=0, decidir se suas raízes são reais e diferentes, reais e iguais ou complexas, e esboçar o gráfico usando no máximo quatro pontos. Vamos usar a fórmula do discriminante e as propriedades de parábola.
Passo 2
Identificamos os coeficientes: a₁=1, b₁=–a, c₁=–1. Pela definição do discriminante
temos:
.
Passo 3
Como
para todo real a, conclui-se que
. Portanto a equação f(x)=0 sempre tem duas raízes reais e distintas.
Passo 4
Para esboçar o gráfico sem mais que quatro pontos, notamos que a parábola abre para cima (coeficiente de x² positivo). Pontos-chave: vértice em xₙ=–b/(2a)=a/2, com f(a/2)= (a/2)² – a·(a/2) –1 = –a²/4 –1; intercepto em y f(0)=–1; raízes em x=(a±√(a²+4))/2. Assim temos exatamente quatro pontos: vértice, intercepto em y e os dois zeros.
Passo 5
Com esses pontos desenhamos uma parábola com concavidade para cima, cruzando o eixo x em dois lugares distintos e passando por (0,–1).