Para as seguintes funções f, encontre o discriminante de f(x)=0 e determine se as razões são reais e diferentes, reais e iguais, ou não existem. Esboce o gráfico de f(x) sem desenhar mais de quatro pontos.
f(x)=x^2-a x-1

Passo 1

O enunciado pede para a função quadrática f(x)=x²–a x–1: calcular o discriminante de f(x)=0, decidir se suas raízes são reais e diferentes, reais e iguais ou complexas, e esboçar o gráfico usando no máximo quatro pontos. Vamos usar a fórmula do discriminante e as propriedades de parábola.

Passo 2

Identificamos os coeficientes: a₁=1, b₁=–a, c₁=–1. Pela definição do discriminante De temos: De.

Passo 3

Como a^2>=0 para todo real a, conclui-se que De=4>0. Portanto a equação f(x)=0 sempre tem duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Para esboçar o gráfico sem mais que quatro pontos, notamos que a parábola abre para cima (coeficiente de x² positivo). Pontos-chave: vértice em xₙ=–b/(2a)=a/2, com f(a/2)= (a/2)² – a·(a/2) –1 = –a²/4 –1; intercepto em y f(0)=–1; raízes em x=(a±√(a²+4))/2. Assim temos exatamente quatro pontos: vértice, intercepto em y e os dois zeros.

Passo 5

Com esses pontos desenhamos uma parábola com concavidade para cima, cruzando o eixo x em dois lugares distintos e passando por (0,–1).

Resposta

De0 para todo ainR, logo as raízes são sempre reais e diferentes. O gráfico é uma parábola voltada para cima, com vértice em l(tfraca2,-1-tfraca^24r), intercepto em y em (0,-1) e cruzando o eixo x em tfracapmraiza^2+42.

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