Para as seguintes funções f, encontre o discriminante de f(x)=0 e determine se as razões são reais e diferentes, reais e iguais, ou não existem. Esboce o gráfico de f(x) sem desenhar mais de quatro pontos.
f(x)=x^2-raiz2 x+14

Passo 1

Na função quadrática f(x)=x^2 - raiz2,x + tfrac14, queremos encontrar o discriminante, a natureza das raízes e esboçar o gráfico. Vamos usar a fórmula do discriminante De, a fórmula de Bhaskara e a fórmula do vértice.

Passo 2

Identificamos os coeficientes: a=1, b=-raiz2 e c=tfrac14. Calculando o discriminante:
De

Passo 3

Como De0, a equação f(x)=0 tem duas raízes reais e distintas. Aplicando Bhaskara:
x = -b pm raizDe
Ou seja, x1=tfracraiz2+12 e x2=tfracraiz2-12.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, calculamos o vértice. A abscissa é xv=-tfracb2a=tfracraiz22. Substituindo em f:
yv = fl(tfracraiz22r) = l(tfracraiz22r)^2 - raiz2cdottfracraiz22 + tfrac14 = -tfrac14
Podemos também usar o ponto (0,f(0))=(0,tfrac14) para guiar o esboço.

Passo 5

Com os quatro pontos — raízes l(tfracraiz2pm12,0r), vértice l(tfracraiz22,-tfrac14r) e intercepto em (0,tfrac14) — e sabendo que a>0, traçamos uma parábola voltada para cima que passa por esses pontos.

Resposta

Δ = 1; raízes reais e diferentes (x₁ = (√2+1)/2, x₂ = (√2−1)/2); gráfico: parábola voltada para cima com vértice em (√2/2, −1/4).

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