Sejam
e
isomórficos. Se
possui um subgrupo de ordem
, prove que
também possui um subgrupo de ordem
.
Passo 1
Vamos lá! A questão diz que temos dois grupos,
e
, que são isomórficos. Além disso,
tem um subgrupo de ordem
. Nosso objetivo é provar que
também tem um subgrupo de ordem
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois grupos serem isomórficos e como os subgrupos se comportam nessas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo de grupos. Um isomorfismo é uma função entre dois grupos que é bijetora (ou seja, é um mapeamento um-para-um e sobre) e preserva a operação do grupo. Isso significa que se temos um isomorfismo
, então para quaisquer elementos
em
, temos:
Essa propriedade garante que a estrutura de
é mantida em
.
Passo 3
Agora, sabemos que
tem um subgrupo
de ordem
. Um subgrupo é simplesmente um conjunto dentro do grupo que também forma um grupo com a mesma operação. Como
é um isomorfismo, ela vai transformar esse subgrupo
de
em um conjunto
dentro de
.
Passo 4
Vamos verificar as propriedades de
:
- Fechamento: Se
, então . Aplicando , temos . - Elemento identidade: O elemento identidade de
é mapeado para o elemento identidade de . - Inversos: Se
, então . Aplicando , .
Além disso, como
é bijetora, o tamanho de
é igual ao de
, ou seja,
.
Passo 5
Portanto,
é um subgrupo de
com ordem
. Isso mostra que se
tem um subgrupo de ordem
e
e
são isomórficos, então
também deve ter um subgrupo de ordem
.
Resposta
Assim,
possui um subgrupo de ordem
.