Sejam G e H isomórficos. Se G possui um subgrupo de ordem n, prove que H também possui um subgrupo de ordem n.

Passo 1

Vamos lá! A questão diz que temos dois grupos, G e H , que são isomórficos. Além disso, G tem um subgrupo de ordem n . Nosso objetivo é provar que H também tem um subgrupo de ordem n . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois grupos serem isomórficos e como os subgrupos se comportam nessas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo de grupos. Um isomorfismo é uma função entre dois grupos que é bijetora (ou seja, é um mapeamento um-para-um e sobre) e preserva a operação do grupo. Isso significa que se temos um isomorfismo phi: G H , então para quaisquer elementos a, b em G , temos:
phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b)
Essa propriedade garante que a estrutura de G é mantida em H .

Passo 3

Agora, sabemos que G tem um subgrupo K de ordem n . Um subgrupo é simplesmente um conjunto dentro do grupo que também forma um grupo com a mesma operação. Como phi é um isomorfismo, ela vai transformar esse subgrupo K de G em um conjunto phi(K) dentro de H .

Passo 4

Vamos verificar as propriedades de phi(K) :
  1. Fechamento: Se a, b in K , então a cdot b in K . Aplicando phi , temos phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) in phi(K) .
  2. Elemento identidade: O elemento identidade de G é mapeado para o elemento identidade de H .
  3. Inversos: Se a in K , então a^-1 in K . Aplicando phi , phi(a^-1) = (phi(a))^-1 in phi(K) .
Além disso, como phi é bijetora, o tamanho de phi(K) é igual ao de K , ou seja, |phi(K)| = n .

Passo 5

Portanto, phi(K) é um subgrupo de H com ordem n . Isso mostra que se G tem um subgrupo de ordem n e G e H são isomórficos, então H também deve ter um subgrupo de ordem n .

Resposta

Assim, H possui um subgrupo de ordem n .

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