Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de
no conjunto
indicado:
(d)
e
(d)
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos (máximo e mínimo) de
no conjunto
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O domínio
é o quadrado fechado e limitado com vértices .
O objetivo é encontrar os pontos emonde atinge seu maior e menor valores (extremos absolutos) e os valores correspondentes.
Passo 2
Como primeiro passo prático, verifico pontos críticos no interior de
. Para isso calcule as derivadas parciais:
Pontos críticos interiores são soluções do sistema
e
. Portanto:
ou seja, o único ponto crítico interior é
.
Passo 3
Avalio
no ponto crítico interior:
Para entender se
é máximo, mínimo ou sela, uso o teste das segundas derivadas. As segundas derivadas são
O discriminante de Hessian é
Como
,
é ponto de sela (não é máximo nem mínimo). Logo os extremos absolutos devem ocorrer na fronteira de
.
Passo 4
Agora examino a fronteira do quadrado
. A fronteira tem quatro lados:
-
com : aqui . Essa é função linear em , logo atinge seus extremos nos extremos do intervalo e . Para esses valores:
-
com : . Novamente extremos em e :
-
com : . Extremos em e :
-
com : . Extremos em e :
Passo 5
Reuni os valores obtidos na fronteira e no interior:
- Pontos-canto e valores:
-
- Valor no ponto crítico interior:
.
Comparando, o maior valor encontrado ée o menor é . Não há nenhum valor maior que nem menor que em , porque em cada lado da fronteira as funções são lineares com intervalos que deram exatamente esses extremos.
Passo 6
Interpretação final e verificação:
no quadrado com
tem valor absoluto máximo quando
e
e os sinais são iguais para obter
e opostos para obter
. Assim os extremos absolutos ocorrem nos vértices do quadrado, como listado acima.
Resposta
Máximo absoluto:
, atingido em
e
.
Mínimo absoluto: , atingido em
e
.
Mínimo absoluto: