Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de z=f(x ; y) no conjunto D indicado:
(d) z=x y, D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:-2 \leq x \leq 2\right. e \left.-2 \leq y \leq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos (máximo e mínimo) de z=f(x,y)=xy no conjunto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -2\le x\le 2,\\\ -2\le y\le 2\}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y)=xy.
  • O domínio D é o quadrado fechado e limitado com vértices (\pm2,\pm2).
    O objetivo é encontrar os pontos em D onde f atinge seu maior e menor valores (extremos absolutos) e os valores correspondentes.

Passo 2

Como primeiro passo prático, verifico pontos críticos no interior de D. Para isso calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x.
Pontos críticos interiores são soluções do sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0. Portanto:
y=0,\qquad x=0,
ou seja, o único ponto crítico interior é (0,0).

Passo 3

Avalio f no ponto crítico interior:
f(0,0)=0\!.
Para entender se (0,0) é máximo, mínimo ou sela, uso o teste das segundas derivadas. As segundas derivadas são
f_{xx}=0,\qquad f_{yy}=0,\qquad f_{xy}=1.
O discriminante de Hessian é
D_H=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^2=0\cdot0-1^2=-1<0.
Como D_H<0, (0,0) é ponto de sela (não é máximo nem mínimo). Logo os extremos absolutos devem ocorrer na fronteira de D.

Passo 4

Agora examino a fronteira do quadrado D. A fronteira tem quatro lados:
  1. x=2 com y\in[-2,2]: aqui f(2,y)=2y. Essa é função linear em y, logo atinge seus extremos nos extremos do intervalo y=-2 e y=2. Para esses valores:
f(2,-2)=2\cdot(-2)=-4,\qquad f(2,2)=2\cdot2=4.
  1. x=-2 com y\in[-2,2]: f(-2,y)=-2y. Novamente extremos em y=-2 e y=2:
f(-2,-2)=-2\cdot(-2)=4,\qquad f(-2,2)=-2\cdot2=-4.
  1. y=2 com x\in[-2,2]: f(x,2)=2x. Extremos em x=-2 e x=2:
f(-2,2)=2\cdot(-2)=-4,\qquad f(2,2)=2\cdot2=4.
  1. y=-2 com x\in[-2,2]: f(x,-2)=-2x. Extremos em x=-2 e x=2:
f(-2,-2)=-2\cdot(-2)=4,\qquad f(2,-2)=-2\cdot2=-4.

Passo 5

Reuni os valores obtidos na fronteira e no interior:
  • Pontos-canto e valores:
    • f(2,2)=4
    • f(-2,-2)=4
    • f(2,-2)=-4
    • f(-2,2)=-4
  • Valor no ponto crítico interior: f(0,0)=0.
    Comparando, o maior valor encontrado é 4 e o menor é -4. Não há nenhum valor maior que 4 nem menor que -4 em D, porque em cada lado da fronteira as funções são lineares com intervalos que deram exatamente esses extremos.

Passo 6

Interpretação final e verificação: xy no quadrado com |x|\le2,\\ |y|\le2 tem valor absoluto máximo quando |x|=2 e |y|=2 e os sinais são iguais para obter +4 e opostos para obter -4. Assim os extremos absolutos ocorrem nos vértices do quadrado, como listado acima.

Resposta

Máximo absoluto: 4, atingido em (2,2) e (-2,-2).
Mínimo absoluto: -4, atingido em (2,-2) e (-2,2).

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