Seja f(x, y, z) uma função de classe C^{2} em um aberto D \subset \mathbb{R}^{3}. Suponha que p=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in D seja um ponto crítico D. Mostre que
(b) Se p é ponto de mínimo de f, então f_{x x}(p)>0, f_{y y}(p)>0 e f_{z z}(p)>0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f(x,y,z) é de classe C^{2} num aberto D\subset\mathbb{R}^{3}.
  • p=(x_{0},y_{0},z_{0})\in D é um ponto crítico de f (isto é, \nabla f(p)=0).
    A pergunta pedida é: mostrar que, se p é ponto de mínimo de f, então
f_{xx}(p)>0,\qquad f_{yy}(p)>0,\qquad f_{zz}(p)>0.
Vou partir dessas informações e verificar passo a passo o que se pode concluir.

Passo 2

Idéia básica (sem ainda provar nada formalmente): como p é mínimo, ao fixar as coordenadas y e z em y_{0},z_{0} e variar apenas x a função em uma variável que se obtém tem mínimo em t=0. Logo a segunda derivada nessa direção deve ser não negativa. Vou formalizar isso definindo funções unidimensionais que são cortes de f nas direções dos eixos coordenados.

Passo 3

Defino a função unidimensional que corresponde a deslocar x mantendo y,z fixos:
g_x(t)=f(x_{0}+t,y_{0},z_{0}).
Como f é C^{2}, g_x é C^{2} em um intervalo em torno de t=0. Além disso, como p é ponto crítico de f, tem-se
g_x'(t)=\frac{d}{dt}f(x_{0}+t,y_{0},z_{0})=f_x(x_{0}+t,y_{0},z_{0}),
portanto
g_x'(0)=f_x(p)=0.
Como p é ponto de mínimo de f, o ponto t=0 é mínimo local de g_x; logo g_x(t)\ge g_x(0) para t suficientemente pequeno.

Passo 4

Vou usar o teste da segunda derivada em uma variável para g_x. Como g_x é C^{2}, existe a expansão de Taylor com resto pequeno:
g_x(t)=g_x(0)+g_x'(0)t+\tfrac{1}{2}g_x''(0)t^{2}+o(t^{2})\quad\text{quando }t\to0.
Sabendo que g_x'(0)=0 e que g_x(t)-g_x(0)\ge0 para t pequeno, divido a expressão acima por t^{2}>0 (para t\neq0) e tomo limite t\to0:
0\le\lim_{t\to0}\frac{g_x(t)-g_x(0)}{t^{2}}=\frac{1}{2}g_x''(0).
Daí segue
g_x''(0)\ge 0.
Isto é o resultado padrão: se uma função C^{2} de uma variável tem mínimo local em 0 e derivada primeira 0 aí, então a segunda derivada em 0 é não negativa.

Passo 5

Relaciono g_x''(0) com a segunda derivada parcial de f. Pelo cálculo direto:
g_x''(t)=\frac{d}{dt}g_x'(t)=\frac{d}{dt}f_x(x_{0}+t,y_{0},z_{0})=f_{xx}(x_{0}+t,y_{0},z_{0}).
Logo, em t=0,
g_x''(0)=f_{xx}(p).
Combinando com o que obtivemos no passo anterior, concluímos
f_{xx}(p)\ge 0.

Passo 6

O mesmo argumento aplicado às direções das outras coordenadas dá, de maneira análoga,
f_{yy}(p)\ge 0,\qquad f_{zz}(p)\ge 0.
Ou seja, cada segunda derivada parcial ao longo dos eixos coordenados é não negativa em um mínimo local. Este é o enunciado correto que decorre diretamente da redução a funções unidimensionais.

Passo 7

Agora um ponto importante: a afirmação com desigualdade estrita >\!0 (como pediu o enunciado) é, em geral, falsa. Dou um contraexemplo concreto e simples que ilustra por que não se pode fortalecer o sinal para estrito mesmo se p for um mínimo estrito.

Passo 8

Contraexemplo. Considere
f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.
Esta função é C^{\infty} (logo C^{2}), tem mínimo global estrito em p=(0,0,0) porque f(x,y,z)>0 para qualquer (x,y,z)\neq(0,0,0). Calculando derivadas:
f_x=4x^{3},\qquad f_{xx}=12x^{2}.
Em p=(0,0,0) obtemos f_x(p)=0 (ponto crítico) e
f_{xx}(p)=12\cdot 0^{2}=0.
Analogamente f_{yy}(p)=0 e f_{zz}(p)=0. Assim temos um ponto de mínimo estrito em que as segundas derivadas parciais nas coordenadas são iguais a zero, mostrando que a desigualdade estrita pode falhar. (É análogo ao caso unidimensional g(x)=x^{4}, que tem mínimo estrito em 0 e g''(0)=0.)

Passo 9

Conclusão didática e versão correta do resultado: se p é ponto de mínimo local de f então necessariamente
f_{xx}(p)\ge 0,\qquad f_{yy}(p)\ge 0,\qquad f_{zz}(p)\ge 0.
Mais ainda, a condição necessária mais geral é que a forma quadrática associada à Hessiana em p seja semidefinida positiva: para todo vetor v\in\mathbb{R}^{3} vale v^{T}H(p)v\ge0. No entanto, a positividade estrita das segundas derivadas parciais (ou da Hessiana) não é garantida por um mínimo local — pode acontecer que algumas segundas derivadas sejam zero, como no contraexemplo acima.

Resposta

A afirmação dada é falsa. O correto é
f_{xx}(p)\ge 0,\; f_{yy}(p)\ge 0,\; f_{zz}(p)\ge 0.
Contraexemplo: f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4} tem mínimo estrito em p=(0,0,0) e f_{xx}(0)=f_{yy}(0)=f_{zz}(0)=0.

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