Seja
uma função de classe
em um aberto
. Suponha que
seja um ponto crítico
. Mostre que
(b) Se
é ponto de mínimo de
, então
e
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é de classe num aberto . -
é um ponto crítico de (isto é, ).
A pergunta pedida é: mostrar que, seé ponto de mínimo de , então
Vou partir dessas informações e verificar passo a passo o que se pode concluir.
Passo 2
Idéia básica (sem ainda provar nada formalmente): como
é mínimo, ao fixar as coordenadas
e
em
e variar apenas
a função em uma variável que se obtém tem mínimo em
. Logo a segunda derivada nessa direção deve ser não negativa. Vou formalizar isso definindo funções unidimensionais que são cortes de
nas direções dos eixos coordenados.
Passo 3
Defino a função unidimensional que corresponde a deslocar
mantendo
fixos:
Como
é
,
é
em um intervalo em torno de
. Além disso, como
é ponto crítico de
, tem-se
portanto
Como
é ponto de mínimo de
, o ponto
é mínimo local de
; logo
para
suficientemente pequeno.
Passo 4
Vou usar o teste da segunda derivada em uma variável para
. Como
é
, existe a expansão de Taylor com resto pequeno:
Sabendo que
e que
para
pequeno, divido a expressão acima por
(para
) e tomo limite
:
Daí segue
Isto é o resultado padrão: se uma função
de uma variável tem mínimo local em
e derivada primeira
aí, então a segunda derivada em
é não negativa.
Passo 5
Relaciono
com a segunda derivada parcial de
. Pelo cálculo direto:
Logo, em
,
Combinando com o que obtivemos no passo anterior, concluímos
Passo 6
O mesmo argumento aplicado às direções das outras coordenadas dá, de maneira análoga,
Ou seja, cada segunda derivada parcial ao longo dos eixos coordenados é não negativa em um mínimo local. Este é o enunciado correto que decorre diretamente da redução a funções unidimensionais.
Passo 7
Agora um ponto importante: a afirmação com desigualdade estrita
(como pediu o enunciado) é, em geral, falsa. Dou um contraexemplo concreto e simples que ilustra por que não se pode fortalecer o sinal para estrito mesmo se
for um mínimo estrito.
Passo 8
Contraexemplo. Considere
Esta função é
(logo
), tem mínimo global estrito em
porque
para qualquer
. Calculando derivadas:
Em
obtemos
(ponto crítico) e
Analogamente
e
. Assim temos um ponto de mínimo estrito em que as segundas derivadas parciais nas coordenadas são iguais a zero, mostrando que a desigualdade estrita pode falhar. (É análogo ao caso unidimensional
, que tem mínimo estrito em
e
.)
Passo 9
Conclusão didática e versão correta do resultado: se
é ponto de mínimo local de
então necessariamente
Mais ainda, a condição necessária mais geral é que a forma quadrática associada à Hessiana em
seja semidefinida positiva: para todo vetor
vale
. No entanto, a positividade estrita das segundas derivadas parciais (ou da Hessiana) não é garantida por um mínimo local — pode acontecer que algumas segundas derivadas sejam zero, como no contraexemplo acima.
Resposta
A afirmação dada é falsa. O correto é
.
Contraexemplo: tem mínimo estrito em
e
.
Contraexemplo: