Qual das seguintes grandezas é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade quadrática média das moléculas?
◯ a) A pressão do gás.

b) A energia cinética média por molécula.
◯ c) O caminho livre médio.
◯ d) O número de colisões por segundo.
◯ e) O volume molar

Passo 1

Vamos primeiro entender com clareza o que a questão pede e o que ela dá. O enunciado pergunta: qual das grandezas abaixo é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade quadrática média das moléculas? As opções são:
a) A pressão do gás.
b) A energia cinética média por molécula.
c) O caminho livre médio.
d) O número de colisões por segundo.
e) O volume molar.
Importante: a expressão “velocidade quadrática média das moléculas” refere-se à velocidade quadrática média usualmente denotada por v_{\rm rms}=\sqrt{\overline{v^2}}. O “quadrado da velocidade quadrática média” é então \left(v_{\rm rms}\right)^2=\overline{v^2}. A pergunta quer saber qual grandeza varia linearmente (diretamente proporcional) com \overline{v^2}.

Passo 2

Definição e interpretação física de \overline{v^2}.
  • A velocidade quadrática média é v_{\rm rms}=\sqrt{\overline{v^2}}.
  • A quantidade que aparece nas teorias microscópicas é frequentemente \overline{v^2}, ou seja, o valor médio do quadrado da velocidade das moléculas.
  • “Diretamente proporcional a \overline{v^2}” significa que a grandeza G pode ser escrita como G = C\\ \overline{v^2}, onde C é uma constante que não depende de \overline{v^2}.

Passo 3

Energia cinética média por molécula — fórmula, explicação e proporcionalidade.
  • A energia cinética de uma molécula de massa m e velocidade v é \tfrac{1}{2} m v^2.
  • A energia cinética média por molécula (média sobre as moléculas) é
\overline{E_k}=\frac{1}{2}m\,\overline{v^2}.
Aqui m é a massa de uma molécula (constante para um dado gás).
  • Essa relação mostra explicitamente que \overline{E_k} é diretamente proporcional a \overline{v^2}, pois pode ser escrita como \overline{E_k}=(\tfrac{1}{2}m)\,\overline{v^2} com \tfrac{1}{2}m constante. Portanto a opção (b) satisfaz a condição pedida.

Passo 4

Pressão do gás — derivação curta e discussão sobre proporcionalidade.
  • Da teoria cinética dos gases monocromaticamente ideais obtém‑se a relação
P=\tfrac{1}{3} n m\,\overline{v^2},
onde P é a pressão, n é a densidade numérica (número de moléculas por unidade de volume) e m a massa de uma molécula.
  • Essa fórmula mostra que P é proporcional a \overline{v^2} se n e m forem mantidos constantes: P = \bigl(\tfrac{1}{3}n m\bigr)\,\overline{v^2}. Logo, em situações com n fixo, P cresce linearmente com \overline{v^2}.

Passo 5

Comparação entre (a) e (b) e critério de escolha única.
  • Tanto \overline{E_k} (opção b) quanto P (opção a) dependem linearmente de \overline{v^2} segundo as fórmulas mostradas. Portanto, matematicamente, ambas são proporcionais a \overline{v^2} quando as outras grandezas envolvidas ( m e, no caso de P, n) são constantes.
  • No entanto, a energia cinética média por molécula é uma relação direta e intrínseca ao nível microscópico: \overline{E_k} depende só de m (constante do gás) e de \overline{v^2}. Já a pressão é uma grandeza macroscópica que, além de \overline{v^2}, depende também da densidade n do gás. Assim, se a pergunta busca a grandeza que, de modo mais direto e universal para uma molécula dada, é proporcional a \overline{v^2} independentemente de variar outras condições macroscópicas, a resposta correta é a energia cinética média por molécula (opção b).

Passo 6

Análise rápida das outras alternativas para eliminar dúvidas.
  • c) Caminho livre médio \lambda tem a forma típica \lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n} (onde d é diâmetro efetivo e n densidade). Em primeira aproximação não depende de \overline{v^2}.
  • d) Número de colisões por segundo (frequência de colisões por partícula) é proporcional à velocidade média \overline{v}, não a \overline{v^2} (aprox. \text{freq}\propto n\sigma\overline{v}).
  • e) Volume molar V_m está relacionado à temperatura por V_m=RT/P. Como T\propto\overline{v^2} (via energia média), V_m só será proporcional a \overline{v^2} se a pressão P for mantida constante — portanto não é uma proporcionalidade direta e universal sem fixar outras condições.

Passo 7

Conclusão final (motivação curta e incentivo)
  • A opção que corresponde de forma mais direta e universal à proporcionalidade com \overline{v^2}, sem depender de outras variáveis macroscópicas que podem variar, é a energia cinética média por molécula. Então essa é a resposta correta. Vai dar certo na prova — só lembrar da fórmula \overline{E_k}=\tfrac{1}{2}m\overline{v^2}, que é fácil de aplicar na hora. Força aí!

Resposta

b)

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