Se a temperatura de um gás ideal for aumentada de 300 K para 1200 K , a velocidade quadrática média de suas moléculas:
◯ a) Aumenta 2 vezes.
◯ b) Aumenta 4 vezes.
◯ c) Diminui pela metade.
◯ d) Aumenta 16 vezes.
◯ e) Permanece constante.

Passo 1

O enunciado dá as temperaturas inicial e final do gás e pergunta como muda a velocidade quadrática média das moléculas. Informações fornecidas:
  • Temperatura inicial: T_1 = 300\\ \text{K}.
  • Temperatura final: T_2 = 1200\\ \text{K}.
  • Pergunta: qual é a variação da velocidade quadrática média (ou velocidade RMS) entre esses dois estados? O enunciado oferece cinco alternativas (a)–(e).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • A velocidade quadrática média, chamada frequentemente de velocidade RMS, mede a raiz da média dos quadrados das velocidades das moléculas. Para um gás ideal monoatômico (e em geral sob as hipóteses do gás ideal), a relação entre energia cinética média por molécula e temperatura é
\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}k_{B}T,
onde:
  • m é a massa de uma molécula (em kg),
  • \overline{v^2} é a média dos quadrados das velocidades das moléculas,
  • k_{B} é a constante de Boltzmann (constante positiva, mesma para qualquer gás),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Essa fórmula significa que a energia cinética média de uma molécula cresce linearmente com T.

Passo 3

Isolando a velocidade RMS a partir da relação anterior.
  • Definimos a velocidade RMS como v_{\rm rms}=\sqrt{\overline{v^2}}. A partir de \tfrac{1}{2}m\overline{v^2}=\tfrac{3}{2}k_{B}T temos:
\overline{v^2}=\frac{3k_{B}T}{m},
portanto
v_{\rm rms}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}}.
  • Note que 3, k_{B} e m são constantes para as mesmas moléculas; assim, a dependência principal de v_{\rm rms} com a condição do gás é através de T.

Passo 4

Concluindo a proporcionalidade útil para a prova.
  • Da expressão acima segue que
v_{\rm rms}\propto\sqrt{T},
ou seja, se só a temperatura muda, a velocidade RMS varia com a raiz quadrada da razão das temperaturas.

Passo 5

Aplicando aos valores dados (contas passo a passo).
  • Queremos a razão entre a velocidade RMS final e a inicial:
\frac{v_{\rm rms,2}}{v_{\rm rms,1}}=\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}=\sqrt{\frac{1200}{300}}.
  • Calcule a fração dentro da raiz:
\frac{1200}{300}=4.
  • Agora a raiz:
\sqrt{4}=2.

Passo 6

Interpretação final e comparação com as alternativas.
  • A velocidade quadrática média aumenta por um fator 2, isto é, aumenta 2 vezes.
  • Entre as alternativas dadas, a correta é a letra (a).

Resposta

a) Aumenta 2 vezes.

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