Se a temperatura de um gás ideal for aumentada de 300 K para 1200 K , a velocidade quadrática média de suas moléculas:
◯ a) Aumenta 2 vezes.
◯ b) Aumenta 4 vezes.
◯ c) Diminui pela metade.
◯ d) Aumenta 16 vezes.
◯ e) Permanece constante.
◯ a) Aumenta 2 vezes.
◯ b) Aumenta 4 vezes.
◯ c) Diminui pela metade.
◯ d) Aumenta 16 vezes.
◯ e) Permanece constante.
Passo 1
O enunciado dá as temperaturas inicial e final do gás e pergunta como muda a velocidade quadrática média das moléculas. Informações fornecidas:
- Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Pergunta: qual é a variação da velocidade quadrática média (ou velocidade RMS) entre esses dois estados? O enunciado oferece cinco alternativas (a)–(e).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- A velocidade quadrática média, chamada frequentemente de velocidade RMS, mede a raiz da média dos quadrados das velocidades das moléculas. Para um gás ideal monoatômico (e em geral sob as hipóteses do gás ideal), a relação entre energia cinética média por molécula e temperatura é
onde:
-
é a massa de uma molécula (em kg), -
é a média dos quadrados das velocidades das moléculas, -
é a constante de Boltzmann (constante positiva, mesma para qualquer gás), -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Essa fórmula significa que a energia cinética média de uma molécula cresce linearmente com .
Passo 3
Isolando a velocidade RMS a partir da relação anterior.
- Definimos a velocidade RMS como
. A partir de temos:
portanto
- Note que
, e são constantes para as mesmas moléculas; assim, a dependência principal de com a condição do gás é através de .
Passo 4
Concluindo a proporcionalidade útil para a prova.
- Da expressão acima segue que
ou seja, se só a temperatura muda, a velocidade RMS varia com a raiz quadrada da razão das temperaturas.
Passo 5
Aplicando aos valores dados (contas passo a passo).
- Queremos a razão entre a velocidade RMS final e a inicial:
- Calcule a fração dentro da raiz:
- Agora a raiz:
Passo 6
Interpretação final e comparação com as alternativas.
- A velocidade quadrática média aumenta por um fator
, isto é, aumenta 2 vezes. - Entre as alternativas dadas, a correta é a letra (a).
Resposta
a) Aumenta 2 vezes.