Qual das seguintes grandezas pode ser determinada a partir do gráfico da posição de um objeto em função do tempo?
a) posição
b) velocidade
c) aceleração
d) distância percorrida
e) deslocamento
Passo 1
Temos um gráfico de posição x em função do tempo t e as opções de grandeza são:
a) posição
b) velocidade
c) aceleração
d) distância percorrida
e) deslocamento
Para resolver, vamos usar as definições:
posição: valor de x em cada instante;
velocidade instantânea: derivada de x(t), isto é, a inclinação da reta tangente ao gráfico;
aceleração instantânea: derivada da velocidade, ou segunda derivada de x(t);
deslocamento em um intervalo [t_1,t_2]: \Delta x = x(t_2)-x(t_1);
distância percorrida: integral do valor absoluto da velocidade, ou soma dos comprimentos de todas as trajetórias, considerando inversões de sentido.
Passo 2
A posição em um instante t pode ser lida diretamente no eixo vertical do gráfico. Logo, a grandeza posição está imediatamente disponível.
Passo 3
A velocidade instantânea em cada instante é dada pela derivada
v(t) = \frac{dx}{dt},
isto é, pelo coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de x(t). Basta traçar a reta tangente em t e medir sua inclinação; assim obtemos a velocidade.
Passo 4
A aceleração instantânea é
a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}.
Para determinar a(t) seria preciso primeiro obter v(t) e então derivá-lo, ou então avaliar a curvatura de x(t). Não se lê a aceleração diretamente do gráfico de posição sem um passo intermediário de construção de v(t).
Passo 5
O deslocamento em um intervalo [t_1,t_2] é
\Delta x = x(t_2) - x(t_1),
podendo ser calculado a partir dos valores de x no gráfico nesses instantes.
Passo 6
A distância percorrida é
\int_{t_1}^{t_2} \bigl|v(t)\bigr|\,dt,
ou seja, é a soma dos comprimentos de todos os trechos, considerando possíveis inversões de movimento. Também requer conhecer o sinal de v(t) em cada trecho e não se obtém apenas “olhando” diretamente para x(t).
Passo 7
Das grandezas dadas, a única que se obtém de forma direta e imediata a partir do gráfico x(t) — sem precisar primeiro construir outro gráfico ou fazer conta de valores absolutos — é a velocidade, pela inclinação da reta tangente.