As seguintes informações sobre um sistema LIT são conhecidas: I- O sistema é causal; IIQuando a entrada é x(n)=-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u(n)-\frac{4}{3} 2^{n} u(-n-1) a transformada z da saída é Y(z)=\frac{1-z^{-2}}{\left(1-\frac{1}{2} z^{-1}\right)\left(1-2 z^{-1}\right)}.
a. Determine a transformada z de x(n).
Resposta: X(z)=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2} z^{-1}\right)\left(1-2 z^{-1}\right)}, \frac{1}{2}<|z|<2
b. Quais são as possíveis escolhas para a RC de Y(z) ?
Resposta: \frac{1}{2}<|z|<2
c. Quais são as possíveis escolhas para a resposta ao impulso do sistema?
Resposta: h(n)=\delta(n)-\delta(n-2)

Passo 1

O enunciado dá um sistema LTI causal e, para a entrada
x(n)=-\frac{1}{3}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}u(n)\;-\;\frac{4}{3}\,2^{n}u(-n-1)
a saída tem transformada
Y(z)=\frac{1-z^{-2}}{\bigl(1-\tfrac12z^{-1}\bigr)\bigl(1-2z^{-1}\bigr)}.
Precisamos:
• (a) achar X(z) e sua ROC;
• (b) possíveis ROCs de Y(z);
• (c) resposta ao impulso h(n).

Passo 2

Calcular X(z)=X_1(z)+X_2(z) onde
X_1(z)=\mathcal Z\bigl\{-\tfrac13(\tfrac12)^n u(n)\bigr\} =-\tfrac13\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n z^{-n} =-\tfrac13\,\frac{1}{1-\tfrac12z^{-1}},\quad \text{ROC: }|z|>\tfrac12.
X_2(z)=\mathcal Z\bigl\{-\tfrac{4}{3}\,2^n u(-n-1)\bigr\} =-\tfrac{4}{3}\sum_{n=-\infty}^{-1}(2z^{-1})^n =-\tfrac{4}{3}\,\frac{1}{2z^{-1}-1} =\tfrac{4}{3}\,\frac{1}{1-2z^{-1}},\quad \text{ROC: }|z|<2.

Passo 3

Somando:
X(z)=-\tfrac13\frac{1}{1-\tfrac12z^{-1}}+\tfrac{4}{3}\frac{1}{1-2z^{-1}} =\frac{1}{\bigl(1-\tfrac12z^{-1}\bigr)\bigl(1-2z^{-1}\bigr)}.
A ROC é a interseção de |z|>\tfrac12 e |z|<2, ou seja
\tfrac12<|z|<2.

Passo 4

Como o sistema é causal, a ROC de Y(z)=H(z)\,X(z) é a interseção da ROC de X e da ROC de H. Mas
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1-z^{-2}}{(1-\tfrac12z^{-1})(1-2z^{-1})}\;\bigg/\;\frac{1}{(1-\tfrac12z^{-1})(1-2z^{-1})} =1-z^{-2}.
Esse H(z) não traz restrição extra (é polinomial em z^{-1}), então a ROC de Y(z) continua \tfrac12<|z|<2.
Por fim,
h(n)=\mathcal Z^{-1}\{1-z^{-2}\}=\delta(n)-\delta(n-2).

Resposta

(a) X(z)=\displaystyle\frac{1}{\bigl(1-\tfrac12z^{-1}\bigr)\bigl(1-2z^{-1}\bigr)},\quad\tfrac12<|z|<2
(b) possíveis ROCs de Y(z): \tfrac12<|z|<2
(c) h(n)=\delta(n)-\delta(n-2)

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