As seguintes integrais podem ser resolvidas por integração trigonométrica (que não é o mesmo que substituição trigonométrica). Para mais detalhes, consulte a seção 7.2 do livro Cálculo, volume 1, do Stewart (tradução da 8 ^ a edição norte-americana).
integral t g^5 theta cdot sec ^7 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^5theta;sec^7theta ,dtheta
O conteúdo aqui é a técnica de integração de potências de tan e sec, usando a identidade tan^2theta=sec^2theta-1 e a substituição u=sectheta, pois du=secthetatantheta,dtheta.

Passo 2

Precisamos isolar um fator secthetatantheta,dtheta para que a substituição u=sectheta funcione. Então escrevemos
tan^5theta;sec^7theta =l(tan^4theta;sec^6thetar),l(tantheta;sectheta,dthetar)

Passo 3

Agora usamos a identidade tan^2theta=sec^2theta-1 para reescrever tan^4theta:
tan^4theta = (tan^2theta)^2 = (sec^2theta -1)^2
Logo o integrando fica
(sec^2theta -1)^2;sec^6theta;l(secthetatantheta,dthetar)

Passo 4

Fazemos a substituição
u = sectheta, du = secthetatantheta,dtheta
Assim a integral transforma-se em
integral (sec^2theta -1)^2;sec^6theta;du =integral (u^2-1)^2,u^6,du

Passo 5

Expandindo (u^2-1)^2,u^6:
(u^2-1)^2,u^6 = (u^4 -2u^2 +1),u^6 = u^10 -2u^8 + u^6
Agora integramos termo a termo:
integral (u^10 -2u^8 + u^6),du =u^1111 -2u^99 + u^77 + C

Resposta

sec^11theta11 -2,sec^9theta9 +sec^7theta7 + C

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