Utilizando o Exercicio 1 . calcule
integral duplaA x cdot e^x^2-y^2 d x d y, em que A e o retângulo -1 <= x <= 1,0 <= y <= 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaA x,e^x^2-y^2,dx,dy,
onde A é o retângulo -1 <= x <= 1, 0 <= y <= 3.
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para separar a integral em x e y, e reconhecer funções ímpares.

Passo 2

Como a função (x,y)mapsto x,e^x^2-y^2 é contínua em A, podemos aplicar Fubini e escrever
integral duplaA x,e^x^2-y^2,dx,dy = integral0^3l(integral-1^1 x,e^x^2-y^2,dxr)dy

Passo 3

Dentro da integral em x separamos
x,e^x^2-y^2 = l(x,e^x^2r)l(e^-y^2r),
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integral-1^1 x,e^x^2-y^2,dx = integral-1^1 x,e^x^2,dx ;times; e^-y^2
Substituindo de volta em Fubini,
integral duplaA x,e^x^2-y^2,dx,dy = (integral-1^1 x,e^x^2,dx) (integral0^3 e^-y^2,dy)

Passo 4

Note que a função xmapsto x,e^x^2 é ímpar, pois
(x,e^x^2)l|xto -x = -x,e^x^2 = -l(x,e^x^2r)
Em intervalos simétricos [-1,1], a integral de uma função ímpar é zero:
integral-1^1 x,e^x^2,dx = 0

Passo 5

Como integral-1^1 x,e^x^2,dx=0, o produto com qualquer valor (mesmo que integral0^3 e^-y^2,dy seja não elementar) é
0 times integral0^3 e^-y^2,dy = 0

Resposta

0

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