Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais integrais são impróprias. Aqui temos apenas
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x}\,\operatorname{sen}x\,dx.
O conteúdo envolvido é o conceito de integral imprópria, mais especificamente quando os limites de integração são infinitos (integral de tipo I).

Passo 2

Recordando a definição: uma integral é dita imprópria de tipo I se pelo menos um dos limites de integração for infinito. Já o tipo II ocorre quando o integrando apresenta descontinuidade em algum ponto do intervalo fechado de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função e^{-x}\,\operatorname{sen}x é contínua para todo x\in\mathbb{R}, mas o intervalo de integração é (-\infty,\infty), ou seja, não é limitado. Logo, trata-se de uma integral imprópria de tipo I.

Resposta

A integral
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x}\,\operatorname{sen}x\,dx
é imprópria de tipo I, pois seus limites de integração são infinitos.

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