Use a forma da definição com soma de Riemann para calcular a integral.
\int_{0}^{2}\left(2 x+x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2}\bigl(2x + x^{3}\bigr)\,dx
usando a definição de integral como limite de soma de Riemann. Vamos dividir o intervalo em n subintervalos, montar a soma de Riemann, usar fórmulas de somatórios e, por fim, tomar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Dividimos [0,2] em n subintervalos de largura
\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}.
Escolhemos o ponto de amostragem x_i como o extremo direito de cada subintervalo:
x_i = 0 + i\,\Delta x = \frac{2i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann dos valores de f(x)=2x+x^3 nos pontos x_i é
S_n = \sum_{i=1}^{n} \bigl(2x_i + x_i^3\bigr)\,\Delta x.
Substituindo x_i = \tfrac{2i}{n} e \Delta x = \tfrac{2}{n}, temos
2x_i + x_i^3 = 2\cdot\frac{2i}{n} + \Bigl(\frac{2i}{n}\Bigr)^3 = \frac{4i}{n} + \frac{8\,i^3}{n^3},
então
S_n = \sum_{i=1}^n \Bigl(\frac{4i}{n} + \frac{8\,i^3}{n^3}\Bigr)\,\frac{2}{n} = \sum_{i=1}^n \Bigl(\frac{8i}{n^2} + \frac{16\,i^3}{n^4}\Bigr) = \frac{8}{n^2}\sum_{i=1}^n i \;+\;\frac{16}{n^4}\sum_{i=1}^n i^3.

Passo 4

Usamos as fórmulas dos somatórios:
\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{i=1}^n i^3 = \Bigl(\frac{n(n+1)}{2}\Bigr)^{\!2}.
Logo
S_n = \frac{8}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} + \frac{16}{n^4}\cdot\frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{4(n+1)}{n} + \frac{4(n+1)^2}{n^2} = 4\,\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}.

Passo 5

Para obter a integral, tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} S_n = 4 \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2 + 3n + 1}{n^2} = 4 \cdot 2 = 8.

Resposta

\displaystyle 8

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