Nos seguintes itens, calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem.
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Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y)=e^x/y+arctan(x/y). O conteúdo principal é diferenciação parcial e aplicação da regra da cadeia. Vamos precisar usar as fórmulas de derivada de e^u, de arctan(u) e as derivadas de u=x/y em relação a x e y.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar u=xy. Assim podemos reescrever f(x,y)=e^u+arctan(u).

Passo 3

Calculamos primeiro partial upartial x e partial upartial y. Como u=xcdot y^-1:
partial upartial x=1y,
partial upartial y=-xy^2

Passo 4

Usando a regra da cadeia para obter fx:
partial fpartial x=ddul(e^ur)cdotpartial upartial x+ddul(arctan(u)r)cdotpartial upartial x
Sabendo que ddue^u=e^u e dduarctan(u)=11+u^2, temos:
partial fpartial x=e^ucdot1y+11+u^2cdot1y

Passo 5

Agora para fy, aplicamos novamente a regra da cadeia:
partial fpartial y=e^ucdotpartial upartial y+11+u^2cdotpartial upartial y
Substituindo partial upartial y=-xy^2:
partial fpartial y=-e^uxy^2-xy^211+u^2

Resposta

Substituindo u=xy de volta, as derivadas parciais ficam:
partial fpartial x=1yl(e^x/y+11+(x/y)^2r),
partial fpartial y=-xy^2l(e^x/y+11+(x/y)^2r)

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