Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
T(p(x))=p(1+x), para todo p(x) \in P_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}),\quad T(p)(x)=p(1+x),
e pede os autovalores \lambda, os autovetores não-nulos p(x) tais que T(p)=\lambda\,p, e, quando existirem, os respectivos autoespaços. Vamos usar a forma geral de um polinômio de grau <=2
p(x)=a x^{2}+b x+c
e impor p(x+1)=\lambda\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr).

Passo 2

Calculemos T(p)(x)=p(x+1):
p(x+1)=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c =a x^{2}+(2a+b)x+(a+b+c).
A condição de autovalor exige
a x^{2}+(2a+b)x+(a+b+c) =\lambda\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr).

Passo 3

Igualando coeficientes de x^{2}, de x e do termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} (1-\lambda)\,a=0,\\\\ 2a+b-\lambda\,b=0,\\\ a+b-\lambda\,c=0. \end{cases}

Passo 4

Se \lambda\neq1, da primeira equação vem a=0.
Então a segunda dá b(1-\lambda)=0\implies b=0, e a terceira dá (1-\lambda)c=0\implies c=0.
Logo só surge a solução trivial a=b=c=0. Não há autovetores não-nulos para \lambda\neq1.

Passo 5

Se \lambda=1, a primeira equação é trivial. A segunda fica 2a+b-b=2a=0\implies a=0.
A terceira fica a+b-c=0\implies b=c, mas como a=0 e \lambda-1=0 só exige b=0.
Permanece c livre. Assim
p(x)=c,\quad c\neq0,
são os autovetores associados a \lambda=1.

Resposta

O único autovalor é \lambda=1.
Os autovetores são os polinômios constantes p(x)=c, c\neq0.
O autoespaço correspondente é
\{\,p(x)=c\mid c\in\mathbb{R}\}\,.

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