Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado. T(p(x))=p(1+x), para todo p(x) \in P_{2}(\mathbb{R})
e pede os autovalores \lambda, os autovetores não-nulos p(x) tais que T(p)=\lambda\,p, e, quando existirem, os respectivos autoespaços. Vamos usar a forma geral de um polinômio de grau <=2
Se \lambda\neq1, da primeira equação vem a=0.
Então a segunda dá b(1-\lambda)=0\implies b=0, e a terceira dá (1-\lambda)c=0\implies c=0.
Logo só surge a solução trivial a=b=c=0. Não há autovetores não-nulos para \lambda\neq1.
Passo 5
Se \lambda=1, a primeira equação é trivial. A segunda fica 2a+b-b=2a=0\implies a=0.
A terceira fica a+b-c=0\implies b=c, mas como a=0 e \lambda-1=0 só exige b=0.
Permanece c livre. Assim
p(x)=c,\quad c\neq0,
são os autovetores associados a \lambda=1.
Resposta
O único autovalor é \lambda=1.
Os autovetores são os polinômios constantes p(x)=c, c\neq0.
O autoespaço correspondente é