Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z,-z)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores, autovetores e autoespaços de
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (x+y+z,\;2y+z,\;-z).
O conteúdo envolve encontrar a matriz de T na base canônica, calcular seu polinômio característico para achar os autovalores e, depois, resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda a fim de obter os autovetores e autoespaços.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é triangular superior:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Como é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal.

Passo 3

Os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2,\quad \lambda_3 = -1.

Passo 4

Para \lambda=1, resolvemos (A - I)v=0:
A - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
As equações dão y+z=0 e -2z=0, logo z=0, y=0 e x livre.
Autoespaço para \lambda=1:
E_1 = \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,0,0)\}.

Passo 5

Para \lambda=2, resolvemos (A - 2I)v=0:
A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
As equações dão z=0 e -x+y=0, logo y=x e z=0.
Autoespaço para \lambda=2:
E_2 = \{(x,x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,1,0)\}.

Passo 6

Para \lambda=-1, resolvemos (A + I)v=0:
A + I = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
As equações dão 3y+z=0\implies z=-3y e 2x+y+z=0\implies 2x-2y=0\implies x=y.
Logo x=y, z=-3x.
Autoespaço para \lambda=-1:
E_{-1} = \{(x,x,-3x)\mid x\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,1,-3)\}.

Resposta

Os autovalores e seus autoespaços são: \displaystyle \lambda=1, E_1=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}. \displaystyle \lambda=2, E_2=\operatorname{span}\{(1,1,0)\}. \displaystyle \lambda=-1, E_{-1}=\operatorname{span}\{(1,1,-3)\}.

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