Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo
. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de
em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
, para todo
Passo 1
O enunciado define o operador linear
onde
é o espaço das polinômios de grau
com coeficientes em
. Queremos encontrar
e
tais que
isto é,
Passo 2
Para resolver
trata-se de uma equação diferencial cujas soluções gerais são
Porém, exigimos que
seja um polinômio de grau até 3. A função
não é polinomial a não ser no caso trivial
(ou
, mas isso daria o vetor zero, que não conta como autovetor).
Passo 3
No caso
a equação fica
cuja solução geral em polinômios é
Assim, todo polinômio constante não-nulo é autovetor associado a
.
Resposta
O único autovalor é
.
O autoespaço associado é
O autoespaço associado é