Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores de T\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 representada pela matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como A é triangular superior, usaremos a propriedade de que seus autovalores são as entradas da diagonal.

Passo 2

O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^3.
Logo, o único autovalor (com multiplicidade algébrica 3) é \lambda=1.

Passo 3

Para achar os autovetores associados a \lambda=1, montamos o sistema (A - I)x=0. Primeiro,
A - I =\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e o sistema (A-I)x=0 em coordenadas x=(x_1,x_2,x_3) fica
\begin{cases} 2x_2 + 3x_3 = 0,\\\\ 2x_3 = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem x_3=0. Substituindo na primeira obtenho 2x_2=0, ou seja x_2=0. A variável x_1 fica livre. Portanto os vetores próprios são
x=(x_1,0,0),
com x_1\neq0. O autoespaço associado a \lambda=1 é
E_1=\{(x_1,0,0)\mid x_1\in\mathbb R\}=\mathrm{span}\{(1,0,0)\}.

Resposta

O único autovalor é \lambda=1 (multiplicidade algébrica 3) e o autoespaço associado é
E_1=\mathrm{span}\{(1,0,0)\}.

Exercícios relacionados