Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, sobre \mathbb{R}^2, os autovalores e autovetores da transformação linear dada pela matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Vamos usar a teoria de autovalores: para um operador representado por uma matriz A, os autovalores são as raízes do polinômio característico \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) e, para cada autovalor \lambda, o autoespaço é \ker(A-\lambda I).]

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal.
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = -1.

Passo 3

Para \lambda_1 = 1, calculamos
A - I = \begin{pmatrix}1-1 & 2 \\[3pt] 0 & -1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[3pt] 0 & -2\end{pmatrix}, \quad (A-I)\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 2x_2=0, logo x_2=0. A segunda equação é redundante. Então
x = \begin{pmatrix}x_1\\\ 0\end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad x_1\in\mathbb{R}.
O autoespaço associado a \lambda_1=1 é
E_{1} = \ker(A-I) = \{\,x_1(1,0):x_1\in\mathbb{R}\} = \span\{(1,0)\}.]

Passo 4

Para \lambda_2 = -1, calculamos
A + I = \begin{pmatrix}1+1 & 2 \\[3pt] 0 & -1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad (A+I)\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 2x_1+2x_2=0, ou seja x_1=-x_2. Então
x = \begin{pmatrix}-x_2\x_2\end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
O autoespaço associado a \lambda_2=-1 é
E_{-1} = \ker(A+I) = \{\,t(1,-1):t\in\mathbb{R}\} = \span\{(1,-1)\}.]

Resposta

O operador T (matriz A) tem dois autovalores reais: \lambda_1=1 com autoespaço E_{1}=\span\{(1,0)\} \lambda_2=-1 com autoespaço E_{-1}=\span\{(1,-1)\}.

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