Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado. A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, sobre \mathbb{R}^2, os autovalores e autovetores da transformação linear dada pela matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Vamos usar a teoria de autovalores: para um operador representado por uma matriz A, os autovalores são as raízes do polinômio característico \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) e, para cada autovalor \lambda, o autoespaço é \ker(A-\lambda I).]
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal.
O operador T (matriz A) tem dois autovalores reais: \lambda_1=1 com autoespaço E_{1}=\span\{(1,0)\} \lambda_2=-1 com autoespaço E_{-1}=\span\{(1,-1)\}.