Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores de T quando representado pela matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
sobre \mathbb{R}^3, e em seguida determinar, para cada autovalor \lambda, um vetor não-zero v tal que
(A-\lambda I)v=0,
isto é, os autovetores e seus autoespaços.

Passo 2

Vamos primeiro achar o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 2\\\\ -1 & -\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
(1-\lambda)\bigl(-\lambda(2-\lambda)-1\bigr) +2\bigl((-1)\cdot1-(-\lambda)\cdot1\bigr).
Dentro do primeiro termo temos
-\lambda(2-\lambda)-1 = \lambda^2-2\lambda-1,
e no segundo
(-1)\cdot1-(-\lambda)\cdot1 = -1+\lambda = \lambda-1.
Logo
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-1)+2(\lambda-1) =-\lambda^3+3\lambda^2+\lambda-3.
Multiplicando por -1, obtemos
\lambda^3-3\lambda^2-\lambda+3 =(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+1).
Portanto os autovalores são
\lambda=3,\quad \lambda=1,\quad \lambda=-1.

Passo 3

Para \lambda=3 resolvemos
(A-3I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2\\\\ -1 & -3 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha vem -2x+2z=0\implies z=x. Da segunda -x-3y+z=0\implies -x-3y+x=0\implies y=0. A terceira é redundante. Assim
v=(x,0,x)=x\,(1,0,1),\quad x\neq0.
O autoespaço associado a \lambda=3 é
E_3=\Span\{(1,0,1)\}.

Passo 4

Para \lambda=1 temos
(A-I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha 2z=0\implies z=0. Da segunda -x-y+z=0\implies x+y=0. A terceira repete x+y=0. Logo
v=(x,-x,0)=x\,(1,-1,0),\quad x\neq0,
e
E_1=\Span\{(1,-1,0)\}.

Passo 5

Para \lambda=-1 resolvemos
(A+I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha 2x+2z=0\implies x=-z. Da segunda -x+y+z=0\implies -(-z)+y+z=0\implies y=-2z. A terceira é redundante. Assim
v=(-z,-2z,z)=z\,(-1,-2,1)=z\,(1,2,-1),\quad z\neq0,
e
E_{-1}=\Span\{(1,2,-1)\}.

Resposta

Os autovalores e seus autoespaços são: \displaystyle\lambda=3,\\ E_3=\Span\{(1,0,1)\}; \displaystyle\lambda=1,\\ E_1=\Span\{(1,-1,0)\}; \displaystyle\lambda=-1,\\ E_{-1}=\Span\{(1,2,-1)\}.

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