Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
T(p(x))=p^{\prime}(x), para todo p(x) \in P_{3}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon P_{3}(\mathbb{R}) \to P_{3}(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(x)\bigr)=p'(x),
onde P_{3}(\mathbb{R}) é o espaço das polinômios de grau <=3 com coeficientes em \mathbb{R}. Queremos encontrar \lambda\in\mathbb{R} e p\in P_{3}(\mathbb{R})\setminus\{0\} tais que
T(p)=\lambda\,p,
isto é,
p'(x)=\lambda\,p(x).

Passo 2

Para resolver
p'(x)=\lambda\,p(x)
trata-se de uma equação diferencial cujas soluções gerais são
p(x)=C\,e^{\lambda x},\quad C\in\mathbb{R}.
Porém, exigimos que p(x) seja um polinômio de grau até 3. A função e^{\lambda x} não é polinomial a não ser no caso trivial \lambda=0 (ou C=0, mas isso daria o vetor zero, que não conta como autovetor).

Passo 3

No caso \lambda=0 a equação fica
p'(x)=0,
cuja solução geral em polinômios é
p(x)=C,\quad C\in\mathbb{R}.
Assim, todo polinômio constante não-nulo é autovetor associado a \lambda=0.

Resposta

O único autovalor é \lambda=0.
O autoespaço associado é
E_{0}=\bigl\{p(x)=C : C\in\mathbb{R}\bigr\} =\mathrm{span}\{1\}.

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