Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo
. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de
em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
, onde
e
denota a transposta da matriz
.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede os autovalores
e os autovetores
tais que
além do autoespaço associado a cada
. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor em espaços vetoriais.
Passo 2
Seja
então
Impor
dá o sistema de igualdades de entradas:
Passo 3
Caso
: as duas primeiras e últimas equações
e
não impõem restrição a
. Já
viram
. Logo
isto é,
é simétrica. O autoespaço correspondente é
que tem dimensão 3 (parâmetros
).]
Passo 4
Caso
: das equações
e
segue
e
. Sobram
Para existir vetor não nulo, precisamos de
. Descartando
, fica
. Então
e
isto é, matrizes antissimétricas. O autoespaço é
de dimensão 1 (parâmetro
).]
Passo 5
Não há outros valores de
que produzam autovetores não nulos, pois para
todas as componentes de
seriam zero.
Resposta
Os autovalores são
e
:
(a)
, com autoespaço
todas as matrizes simétricas (dimensão 3).
(b)
, com autoespaço
todas as matrizes antissimétricas (dimensão 1).