Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
T(A)=A^{t}, onde A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) e A^{t} denota a transposta da matriz A.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to M_{2\times2}(\mathbb{R}),\quad T(A)=A^t,
e pede os autovalores \lambda e os autovetores A\neq0 tais que
T(A)=\lambda A\quad\Longleftrightarrow\quad A^t=\lambda A,
além do autoespaço associado a cada \lambda. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor em espaços vetoriais.

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix}a & b \\[6pt] c & d\end{pmatrix}
então
A^t = \begin{pmatrix}a & c \\[4pt] b & d\end{pmatrix}.
Impor A^t=\lambda A dá o sistema de igualdades de entradas:
\begin{cases} a = \lambda a,\\\ c = \lambda b,\\\ b = \lambda c,\\\ d = \lambda d. \end{cases}]

Passo 3

Caso \lambda=1: as duas primeiras e últimas equações a=\lambda a e d=\lambda d não impõem restrição a a,d. Já
c=\lambda b\quad\text{e}\quad b=\lambda c
viram c=b. Logo
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & d\end{pmatrix},
isto é, A é simétrica. O autoespaço correspondente é
E_{1}=\{A\in M_{2\times2}(\mathbb{R})\mid A^t=A\},
que tem dimensão 3 (parâmetros a,b,d).]

Passo 4

Caso \lambda\neq1: das equações a=\lambda a e d=\lambda d segue a=0 e d=0. Sobram
c=\lambda b,\quad b=\lambda c\implies b=\lambda(\lambda b)=\lambda^2 b.
Para existir vetor não nulo, precisamos de \lambda^2=1. Descartando \lambda=1, fica \lambda=-1. Então
c = -1\cdot b=-b,\quad a=d=0,
e
A=\begin{pmatrix}0 & b\\[4pt] -b & 0\end{pmatrix},
isto é, matrizes antissimétricas. O autoespaço é
E_{-1}=\{A\in M_{2\times2}(\mathbb{R})\mid A^t=-A\},
de dimensão 1 (parâmetro b).]

Passo 5

Não há outros valores de \lambda que produzam autovetores não nulos, pois para \lambda\neq\pm1 todas as componentes de A seriam zero.

Resposta

Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=-1:
(a) \lambda=1, com autoespaço
E_{1}=\Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ b & d\end{pmatrix}\Bigr\},
todas as matrizes simétricas (dimensão 3).
(b) \lambda=-1, com autoespaço
E_{-1}=\Bigl\{\begin{pmatrix}0 & b\\\\ -b & 0\end{pmatrix}\Bigr\},
todas as matrizes antissimétricas (dimensão 1).

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