Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
T(x, y, z)=(3 x+2 y-z,-3 x-2 y+2 z,-x-y+2 z).

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (3x+2y-z,\;-3x-2y+2z,\;-x-y+2z)
e pede os autovalores, os autovetores associados e, quando existirem, os autoespaços. Para isso vamos:
  1. Representar T pela sua matriz A na base canônica de \mathbb{R}^3.
  2. Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I) e achar as raízes \lambda.
  3. Para cada \lambda resolver (A-\lambda I)v=0 e identificar os autovetores e o autoespaço correspondente.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1\\\\ -3 & -2 & 2\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 & -1\\\\ -3 & -2-\lambda & 2\\\\ -1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = -(\lambda-1)^3.

Passo 3

Da expressão acima segue que o único autovalor é
\lambda = 1,
com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos
(A - I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1\\\\ -3 & -3 & 2\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Das equações vem
2x+2y - z = 0, \quad -x - y + z = 0,
que implicam z=0 e x + y = 0. Logo
v = (x,y,z) = (t,\,-t,\,0), \quad t\in\mathbb{R}.
O autoespaço associado a \lambda=1 é
E_1 = \bigl\{(t,-t,0):t\in\mathbb{R}\bigr\} = \mathrm{Span}\,\{(1,-1,0)\}.

Resposta

O único autovalor é \lambda=1.
Os autovetores são todos os múltiplos de (1,-1,0).
O autoespaço correspondente é
E_1 = \mathrm{Span}\,\{(1,-1,0)\}.

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