Nos seguintes itens, encontre o polinomio de Taylor associado à funçao f de grau n no ponto a, onde
f(x)=cos x, n=5, a=pi

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=5 da função f(x)=cos x no ponto a=pi. O conteúdo é o desenvolvimento em série de Taylor e vamos usar a fórmula geral
pn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!(x-a)^k

Passo 2

Aplicamos a fórmula geral para n=5 e a=pi:
p5(x)=sumk=0^5f^(k)(pi)k!(x-pi)^k =f(pi)0!+f'(pi)1!(x-pi)+f''(pi)2!(x-pi)^2+cdots+f^(5)(pi)5!(x-pi)^5

Passo 3

Calculamos as derivadas até quinta ordem e avaliamos em x=pi:
f(x)&=cos x, &f(pi)&=cospi=-1, f'(x)&=-sin x, &f'(pi)&=-sinpi=0, f''(x)&=-cos x, &f''(pi)&=-cospi=1, f'''(x)&=sin x, &f'''(pi)&=sinpi=0, f^(4)(x)&=cos x, &f^(4)(pi)&=cospi=-1, f^(5)(x)&=-sin x, &f^(5)(pi)&=-sinpi=0

Passo 4

Substituindo esses valores em p5(x) e observando que todos os termos de ordem ímpar são nulos, sobra:
p5(x)=-1 +12!(x-pi)^2 +-14!(x-pi)^4
Como 2!=2 e 4!=24, temos
p5(x)=-1+12(x-pi)^2-124(x-pi)^4

Resposta

p5(x)=-1+12(x-pi)^2-124(x-pi)^4

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