Q 1. Falso ou Verdadeiro? Justifique:
se
e
, então
diverge,
se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma sequência de termos positivos
com
e pergunta se disso segue necessariamente que a série
diverge. O conteúdo envolvido é o teste da razão para séries de termos positivos e suas limitações.
Passo 2
Relembrando o teste da razão: para uma série de termos positivos
, se
existe e
-
, a série converge; -
, a série diverge; -
, o teste é inconclusivo.
Aqui, como
o teste da razão falha em decidir convergência ou divergência.
Passo 3
Para mostrar que a afirmação “então
diverge” é falsa, basta um contra-exemplo.
Escolhemos
Escolhemos
Calculamos a razão
logo satisfaz
.
Passo 4
Agora observamos a série de quadrados:
que é a famosa série
-com
e converge (valor
, mas já basta saber que converge).
Resposta
Falso. A condição
não garante que
diverge (contra-exemplo
).