Q 1. Falso ou Verdadeiro? Justifique:
se an>0 forall n in N e lim n infty an+1an=1, então sumn=1^infty an^2 diverge,

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência de termos positivos an com
limntoinftyan+1an=1
e pergunta se disso segue necessariamente que a série
sumn=1^inftyan^2
diverge. O conteúdo envolvido é o teste da razão para séries de termos positivos e suas limitações.

Passo 2

Relembrando o teste da razão: para uma série de termos positivos sum an^2, se
L=limntoinftyan+1^2an^2
existe e
  • L<1, a série converge;
  • L>1, a série diverge;
  • L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui, como
an+1^2an^2 =l(an+1anr)^2 longrightarrow1^2=1,
o teste da razão falha em decidir convergência ou divergência.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação “então sum an^2 diverge” é falsa, basta um contra-exemplo.
Escolhemos
an=1n,, n>=1
Calculamos a razão
an+1an =tfrac1n+1tfrac1n =nn+1longrightarrow1,
logo satisfaz lim an+1/an=1.

Passo 4

Agora observamos a série de quadrados:
sumn=1^inftyan^2 =sumn=1^infty1n^2,
que é a famosa série p-com p=2>1 e converge (valor pi^2/6, mas já basta saber que converge).

Resposta

Falso. A condição limntoinftyan+1/an=1 não garante que sum an^2 diverge (contra-exemplo an=1/n).

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