Seja
Encontre uma constante
tal que a função
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar o valor da constante
para que a função
seja contínua em
. A função
é definida em partes:
Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e usar limites para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em
. Isso quer dizer que o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2) deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita (valores maiores ou iguais a 2), e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Matematicamente, isso é:
Passo 3
Vamos calcular cada parte:
-
Limite pela esquerda (
):
Para valores demenores que 2, usamos . Então: -
Valor da função em
:
Em, $ |x| \geq 2$, então usamos . Assim: -
Limite pela direita (
):
Também para valores de, usamos . Assim:
Passo 4
Agora, para a função ser contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função em
. Ou seja:
Resolvendo para
:
Resposta
A constante
deve ser igual a
para que a função
seja contínua em
.