Seja
h(x)= x+1, & |x|<2 alpha-x^2, & |x| >= 2
Encontre uma constante alpha tal que a função h seja contínua em x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar o valor da constante alpha para que a função h(x) seja contínua em x = 2. A função h(x) é definida em partes:
h(x)= x+1, & |x|<2 alpha - x^2, & |x| >= 2
Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e usar limites para encontrar alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em x = 2. Isso quer dizer que o limite da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2) deve ser igual ao limite quando x se aproxima de 2 pela direita (valores maiores ou iguais a 2), e ambos devem ser iguais ao valor da função em x = 2.
Matematicamente, isso é:
limx to 2^- h(x) = limx to 2^+ h(x) = h(2)

Passo 3

Vamos calcular cada parte:
  1. Limite pela esquerda ( x to 2^-):
    Para valores de x menores que 2, usamos h(x) = x + 1. Então:
    limx to 2^- h(x) = limx to 2^- (x + 1) = 2 + 1 = 3
  2. Valor da função em x = 2:
    Em x = 2, $ |x| \geq 2$, então usamos |x| >= 2. Assim:
    h(x) = alpha - x^2
  3. Limite pela direita ( h(2) = alpha - (2)^2 = alpha - 4 ):
    Também para valores de x to 2^+, usamos x >= 2. Assim:
    h(x) = alpha - x^2

Passo 4

Agora, para a função ser contínua em x = 2, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função em x = 2. Ou seja:
3 = alpha - 4
Resolvendo para alpha:
alpha = 3 + 4 = 7

Resposta

A constante alpha deve ser igual a 7 para que a função h(x) seja contínua em x = 2.

Exercícios relacionados