Os seguintes limites levam a uma indeterminação quando utilizada a substituição direta. Indique o tipo de indeterminação e use algum artifício matemático para avaliar os limites. Se o limite não existir, indique se ele pode ser expresso como =infty ou =-infty.
lim x 1^+(1raizx-1-1raizx^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um limite em que, se substituirmos diretamente $ x $ por 1, acabamos com uma forma indeterminada. O conteúdo aqui envolve limites e indeterminações no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar identificar o tipo de indeterminação e usar algumas manobras matemáticas para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com cada parte da expressão quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \rightarrow 1^+ $).
A expressão é:
x
Quando $ x $ se aproxima de 1, $ x - 1 $ se aproxima de 0, então $ \sqrt{x - 1} $ também se aproxima de 0. Da mesma forma, $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $. Como $ x + 1 $ se aproxima de 2 quando $ x $ se aproxima de 1, $ x^2 - 1 $ também se aproxima de 0, e portanto $ \sqrt{x^2 - 1} $ se aproxima de 0.
Isso significa que cada fração individualmente tende ao infinito:
x 1^+

Passo 3

Agora, observamos que a expressão completa é uma diferença de dois termos que tendem ao infinito:
+infty - +infty
Essa é uma forma indeterminada conhecida como $ \infty - \infty $. Isso significa que não podemos simplesmente concluir que o limite é infinito ou algum valor específico sem uma análise mais aprofundada.

Passo 4

Para resolver essa indeterminação, vamos tentar simplificar a expressão combinando as frações. Vamos encontrar um denominador comum:
1raizx - 1 - 1raizx^2 - 1 = raizx^2 - 1 - raizx - 1raizx - 1 cdot raizx^2 - 1

Passo 5

Agora, vamos trabalhar no numerador raizx^2 - 1 - raizx - 1. Uma técnica útil aqui é multiplicar e dividir por uma expressão que ajude a simplificar a diferença de raízes. Vamos multiplicar e dividir por raizx^2 - 1 + raizx - 1:
raizx^2 - 1 - raizx - 1 = (raizx^2 - 1 - raizx - 1)(raizx^2 - 1 + raizx - 1)raizx^2 - 1 + raizx - 1 = (x^2 - 1) - (x - 1)raizx^2 - 1 + raizx - 1

Passo 6

Simplificando o numerador:
(x^2 - 1) - (x - 1) = x^2 - 1 - x + 1 = x^2 - x
Então, temos:
raizx^2 - 1 - raizx - 1 = x^2 - xraizx^2 - 1 + raizx - 1

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
raizx^2 - 1 - raizx - 1raizx - 1 cdot raizx^2 - 1 = x^2 - xraizx^2 - 1 + raizx - 1raizx - 1 cdot raizx^2 - 1 = x^2 - x(raizx^2 - 1 + raizx - 1) cdot raizx - 1 cdot raizx^2 - 1

Passo 8

Vamos fatorar o numerador $ x^2 - x $:
x^2 - x
Agora, a expressão fica:
x^2 - x = x(x - 1)

Passo 9

Perceba que temos um $ x - 1 $ no numerador e $ \sqrt{x - 1} $ no denominador. Podemos reescrever $ x - 1 $ como $ (\sqrt{x - 1})^2 $:
x - 1
Substituindo:
raizx - 1

Passo 10

Simplificando as potências de $ \sqrt{x - 1} $:
raizx - 1
Então:
(raizx - 1)^2 cdot raizx - 1 = (x - 1) cdot raizx - 1 = (x - 1)^3/2

Passo 11

Agora, vamos analisar o comportamento quando $ x \rightarrow 1^+ $:
  • $ x $ se aproxima de 1.
  • $ x - 1 $ se aproxima de 0.
  • $ \sqrt{x^2 - 1} $ se aproxima de 0.
Portanto, o numerador $ x (x - 1)^{3/2} $ se aproxima de $ 1 \cdot 0^{3/2} = 0 $, e o denominador $ (\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{x - 1}) \cdot \sqrt{x^2 - 1} $ também se aproxima de $ (0 + 0) \cdot 0 = 0 $.
Temos novamente uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, então precisamos simplificar ainda mais.

Passo 12

Vamos considerar uma substituição para facilitar. Seja $ h = x - 1 $, então quando $ x \rightarrow 1^+ $, $ h \rightarrow 0^+ $. Reescrevendo a expressão em termos de $ h $:
h = x - 1
Substituindo:
x 1^+
Simplificando $ (1 + h)^2 - 1 = 1 + 2h + h^2 - 1 = 2h + h^2 $:
h 0^+

Passo 13

Para pequenos $ h $, $ h^2 $ é muito menor que $ h $, então $ 2h + h^2 \approx 2h $. Assim:
h
Substituindo na expressão:
h^2

Passo 14

Fatorando $ \sqrt{h} $ nas somas do denominador:
raizh
Agora, a expressão fica:
raiz2h + raizh = raizh (raiz2 + 1)

Passo 15

Simplificando as potências de $ h $:
h
Agora:
raizh cdot raiz2h = raizh cdot raiz2 cdot raizh = raiz2 cdot h
Simplificando $ h^{3/2} / h = h^{1/2} = \sqrt{h} $:
(1 + h) h^3/2raiz2 cdot h (raiz2 + 1) = (1 + h) h^3/2raiz2 (raiz2 + 1) h

Passo 16

Agora, quando $ h \rightarrow 0^+ $, $ 1 + h \rightarrow 1 $ e $ \sqrt{h} \rightarrow 0 $. Então:
h 0^+

Resposta

O limite é igual a $ 0 $.

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