Os seguintes limites levam a uma indeterminação quando utilizada a substituição direta. Indique o tipo de indeterminação e use algum artifício matemático para avaliar os limites. Se o limite não existir, indique se ele pode ser expresso como
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um limite em que, se substituirmos diretamente $ x $ por 1, acabamos com uma forma indeterminada. O conteúdo aqui envolve limites e indeterminações no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar identificar o tipo de indeterminação e usar algumas manobras matemáticas para encontrar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com cada parte da expressão quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \rightarrow 1^+ $).
A expressão é:
Quando $ x $ se aproxima de 1, $ x - 1 $ se aproxima de 0, então $ \sqrt{x - 1} $ também se aproxima de 0. Da mesma forma, $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $. Como $ x + 1 $ se aproxima de 2 quando $ x $ se aproxima de 1, $ x^2 - 1 $ também se aproxima de 0, e portanto $ \sqrt{x^2 - 1} $ se aproxima de 0.
Isso significa que cada fração individualmente tende ao infinito:
Passo 3
Agora, observamos que a expressão completa é uma diferença de dois termos que tendem ao infinito:
Essa é uma forma indeterminada conhecida como $ \infty - \infty $. Isso significa que não podemos simplesmente concluir que o limite é infinito ou algum valor específico sem uma análise mais aprofundada.
Passo 4
Para resolver essa indeterminação, vamos tentar simplificar a expressão combinando as frações. Vamos encontrar um denominador comum:
Passo 5
Agora, vamos trabalhar no numerador
. Uma técnica útil aqui é multiplicar e dividir por uma expressão que ajude a simplificar a diferença de raízes. Vamos multiplicar e dividir por
:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 8
Vamos fatorar o numerador $ x^2 - x $:
Agora, a expressão fica:
Passo 9
Perceba que temos um $ x - 1 $ no numerador e $ \sqrt{x - 1} $ no denominador. Podemos reescrever $ x - 1 $ como $ (\sqrt{x - 1})^2 $:
Substituindo:
Passo 10
Simplificando as potências de $ \sqrt{x - 1} $:
Então:
Passo 11
Agora, vamos analisar o comportamento quando $ x \rightarrow 1^+ $:
- $ x $ se aproxima de 1.
- $ x - 1 $ se aproxima de 0.
- $ \sqrt{x^2 - 1} $ se aproxima de 0.
Portanto, o numerador $ x (x - 1)^{3/2} $ se aproxima de $ 1 \cdot 0^{3/2} = 0 $, e o denominador $ (\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{x - 1}) \cdot \sqrt{x^2 - 1} $ também se aproxima de $ (0 + 0) \cdot 0 = 0 $.
Temos novamente uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, então precisamos simplificar ainda mais.
Passo 12
Vamos considerar uma substituição para facilitar. Seja $ h = x - 1 $, então quando $ x \rightarrow 1^+ $, $ h \rightarrow 0^+ $. Reescrevendo a expressão em termos de $ h $:
Substituindo:
Simplificando $ (1 + h)^2 - 1 = 1 + 2h + h^2 - 1 = 2h + h^2 $:
Passo 13
Para pequenos $ h $, $ h^2 $ é muito menor que $ h $, então $ 2h + h^2 \approx 2h $. Assim:
Substituindo na expressão:
Passo 14
Fatorando $ \sqrt{h} $ nas somas do denominador:
Agora, a expressão fica:
Passo 15
Simplificando as potências de $ h $:
Agora:
Simplificando $ h^{3/2} / h = h^{1/2} = \sqrt{h} $:
Passo 16
Agora, quando $ h \rightarrow 0^+ $, $ 1 + h \rightarrow 1 $ e $ \sqrt{h} \rightarrow 0 $. Então:
Resposta
O limite é igual a $ 0 $.