Nos problemas de 29 a 36, encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando
?
Mostre que a solução geral de
pode ser escrita como
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais
. Por que é conveniente usar as soluções
, em vez de
e
?
Mostre que a solução geral de
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial
OED:
Condições iniciais:
Conteúdo: EDO linear de coeficientes constantes; usaremos polinômio característico e bases
.
Passo 2
Procuramos as raízes do polinômio característico
Logo
As soluções são
.
Passo 3
Escrevemos a solução geral em termos de exponenciais e depois trocamos pelas funções reais adequadas:
Em forma exponencial:
Como queremos
real, agrupamos:
Passo 4
Calculamos as derivadas até a terceira e avaliamos em
, usando:
y(0)=
y’(t)=
⇒ y’(0)=
y’’(t)=
⇒ y’’(0)=
y’’’(t)=
⇒ y’’’(0)=
Passo 5
Resolvendo o sistema:
⇒ somando:
⇒ somando:
Passo 6
Concluímos a solução que satisfaz as condições iniciais:
Comportamento quando
: a parte com
cresce como
, logo
.
Passo 7
É conveniente usar
em vez de
porque em
temos valores simples:
Facilitando a aplicação direta das condições iniciais sem misturar constantes exponenciais complexas.