Nos problemas de 29 a 36, encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t infty ?
Mostre que a solução geral de y^(4)-y=0 pode ser escrita como
y=c1 cos t+c2 sen t+c3 cosh t+c4 senh t
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais y(0)= 0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1, y^prime prime prime(0)=1. Por que é conveniente usar as soluções cosh t e senh t, em vez de e^t e e^-t ?

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial
OED: y^(4) - y = 0
Condições iniciais: y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1, y'''(0)=1
Conteúdo: EDO linear de coeficientes constantes; usaremos polinômio característico e bases cos t, sin t, cosh t, sinh t.

Passo 2

Procuramos as raízes do polinômio característico
r^4 - 1 = 0
Logo
r=1, -1, i, -i
As soluções são .

Passo 3

Escrevemos a solução geral em termos de exponenciais e depois trocamos pelas funções reais adequadas:
Em forma exponencial:
y = A e^t + B e^-t + C e^it + D e^-it
Como queremos y real, agrupamos:
y = c3cosh t + c4sinh t + c1cos t + c2sin t

Passo 4

Calculamos as derivadas até a terceira e avaliamos em t=0, usando:
c1 + c3 = 0
y(0)= -c1sin t + c2cos t + c3sinh t + c4cosh t
y’(t)= c2 + c4 = 0 ⇒ y’(0)= -c1cos t - c2sin t + c3cosh t + c4sinh t
y’’(t)= -c1 + c3 = 1 ⇒ y’’(0)= c1sin t - c2cos t + c3sinh t + c4cosh t
y’’’(t)= -c2 + c4 = 1 ⇒ y’’’(0)=

Passo 5

Resolvendo o sistema:
c1 + c3 = 0 -c1 + c3 = 1
⇒ somando: 2c3=1 c3=tfrac12, então c1=-tfrac12.
c2 + c4 = 0 -c2 + c4 = 1
⇒ somando: 2c4=1 c4=tfrac12, então c2=-tfrac12.

Passo 6

Concluímos a solução que satisfaz as condições iniciais:
y(t)= -tfrac12cos t - tfrac12sin t + tfrac12cosh t + tfrac12sinh t
Comportamento quando ttoinfty: a parte com cosh t,sinh t cresce como e^t, logo y(t)to +infty.

Passo 7

É conveniente usar cosh t,sinh t em vez de e^t,e^-t porque em t=0 temos valores simples:
Facilitando a aplicação direta das condições iniciais sem misturar constantes exponenciais complexas.

Resposta

y(t)=tfrac12l(cosh t+sinh t-cos t-sin tr)

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