e informa que um dos autovalores é \lambda=3. A tarefa que vou resolver é: determinar todos os autovalores de A e, para cada autovalor, encontrar os autovetores (ou uma base do autoespaço correspondente).]
Passo 2
Lembrete rápido e estratégia: para achar autovalores calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Vou calcular \det(A-\lambda I) explicitamente e, sabendo que \lambda=3 é raiz, fatorar o polinômio para obter os demais autovalores.
portanto a matriz tem posto 1 e o espaço nulo tem dimensão 3-1=2. Isso significa que o autoespaço associado a \lambda=3 tem dimensão geométrica 2 (ótimo: duas direções independentes de autovetores).
A equação da primeira linha (que gera a restrição) é
Você pode checar substituindo em Av^{(3)} que o resultado é -9\,v^{(3)}.]
Passo 6
Resumo e comentários didáticos rápidos:
Encontramos os autovalores \lambda=3 (com multiplicidade algébrica 2) e \lambda=-9 (multiplicidade algébrica 1).
O autoespaço de \lambda=3 tem dimensão geométrica 2 com base \{(2,1,0)^\top,(1,0,1)^\top\}.
O autoespaço de \lambda=-9 tem dimensão geométrica 1 com base \{(-1,2,1)^\top\}.
Como a soma das dimensões geométricas é 2+1=3 (igual à ordem da matriz), A é diagonalizável; isto é, existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A.
Resposta
Autovalores: \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=-9 (multiplicidade algébrica 1).
Autovetores (bases dos autoespaços): para \lambda=3 uma base é