2^{\underline{a}} Questão (2,0 pontos) Seja \mathcal{B}=\{(1,1,1),(0,2,1),(0,0,3)\} base de \mathbb{R}^{3}. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar \mathcal{B} em uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a base \mathcal{B}=\{(1,1,1),(0,2,1),(0,0,3)\} de \mathbb{R}^3 e pede: transformar \mathcal{B} em uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 usando o processo de Gram–Schmidt.
Informações fornecidas (peguei estes vetores do enunciado):
  • v_1=(1,1,1)
  • v_2=(0,2,1)
  • v_3=(0,0,3)
O que se pede: encontrar três vetores unitários mutuamente ortogonais e_1,e_2,e_3 que gerem o mesmo subespaço (aqui todo \mathbb{R}^3).

Passo 2

Breve aula-mão na Gram–Schmidt (fórmulas e o que cada coisa significa).
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^3: para x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3),
x\cdot y = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
  • Norma de um vetor x: \|x\|=\sqrt{x\cdot x}. Aqui \|x\| é o comprimento de x.
  • Projeção de um vetor v sobre um vetor unitário u (com \|u\|=1) é
\operatorname{proj}_u(v)=(v\cdot u)\,u,
onde v\cdot u é um número real (a componente de v na direção de u).
  • Gram–Schmidt para uma sequência v_1,v_2,v_3: define-se
u_1=v_1,\qquad e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|},
u_2=v_2-(v_2\cdot e_1)e_1,\qquad e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|},
u_3=v_3-(v_3\cdot e_1)e_1-(v_3\cdot e_2)e_2,\qquad e_3=\frac{u_3}{\|u_3\|}.
Cada u_k é o resíduo de v_k após retirar as componentes nas direções já escolhidas; cada e_k é o vetor unitário correspondente. Vou aplicar isso passo a passo aos vetores dados.

Passo 3

Primeiro vetor: v_1=(1,1,1). Calcular a norma:
\|v_1\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
Normalizando:
e_1=\frac{v_1}{\|v_1\|=\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Explicação: dividimos cada componente de v_1 por \sqrt{3} para obter um vetor de comprimento 1 na mesma direção.

Passo 4

Segundo vetor: v_2=(0,2,1). Primeiro achar a projeção de v_2 sobre e_1. Calcular o produto escalar:
v_2\cdot e_1 = (0,2,1)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)=\frac{1}{\sqrt{3}}(0+2+1)=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Logo a projeção é
\operatorname{proj}_{e_1}(v_2)=(v_2\cdot e_1)e_1=\sqrt{3}\,e_1=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)=(1,1,1).
Subtrair para obter o componente ortogonal:
u_2=v_2-\operatorname{proj}_{e_1}(v_2)=(0,2,1)-(1,1,1)=(-1,1,0).
Norma de u_2:
\|u_2\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.
Normalizando:
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0).
Comentário: u_2 é ortogonal a e_1 por construção; ao normalizar obtemos um vetor unitário e_2 ortogonal a e_1.

Passo 5

Terceiro vetor: v_3=(0,0,3). Calcular projeções sobre e_1 e e_2. Primeiro com e_1:
v_3\cdot e_1 = (0,0,3)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)=\frac{1}{\sqrt{3}}(0+0+3)=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},
\operatorname{proj}_{e_1}(v_3)=\sqrt{3}\,e_1=(1,1,1).
Agora com e_2:
v_3\cdot e_2 = (0,0,3)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}(0+0+0)=0,
logo \operatorname{proj}_{e_2}(v_3)=0. Portanto
u_3=v_3-\operatorname{proj}_{e_1}(v_3)-\operatorname{proj}_{e_2}(v_3)=(0,0,3)-(1,1,1)-(0,0,0)=(-1,-1,2).
Norma de u_3:
\|u_3\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
Normalizando:
e_3=\frac{u_3}{\|u_3\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1,2).

Passo 6

Verificação rápida de ortonormalidade (mostrando os produtos escalares são zero e normas são 1).
  • Normas: \|e_1\|=1 por construção, \|e_2\|=1, \|e_3\|=1.
  • Produtos escalares:
e_1\cdot e_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{2}}(1\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot0)=0,
e_1\cdot e_3=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{6}}(1\cdot(-1)+1\cdot(-1)+1\cdot2)=0,
e_2\cdot e_3=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{6}}((-1)\cdot(-1)+1\cdot(-1)+0\cdot2)=0.
Portanto e_1,e_2,e_3 são mutuamente ortogonais e de norma 1, ou seja, formam uma base ortonormal.

Passo 7

Resumo final: a aplicação do Gram–Schmidt forneceu explicitamente os três vetores unitários ortogonais. Fica a dica: na prova faça sempre a projeção calculando primeiro o produto escalar v_k\cdot e_j (um número), multiplique por e_j (o vetor) e subtraia — isso evita confusão com frações no meio do caminho. Força aí — você já tem a receita pronta para aplicar rápido no exame!

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)
\dfrac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)
\dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1,2)

Exercícios relacionados