Questão (2,0 pontos) Seja
base de
. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar
em uma base ortonormal de
.
Passo 1
O enunciado dá a base
de
e pede: transformar
em uma base ortonormal de
usando o processo de Gram–Schmidt.
Informações fornecidas (peguei estes vetores do enunciado):
Informações fornecidas (peguei estes vetores do enunciado):
O que se pede: encontrar três vetores unitários mutuamente ortogonais
que gerem o mesmo subespaço (aqui todo
).
Passo 2
Breve aula-mão na Gram–Schmidt (fórmulas e o que cada coisa significa).
- Produto interno (produto escalar) em
: para e ,
- Norma de um vetor
: . Aqui é o comprimento de . - Projeção de um vetor
sobre um vetor unitário (com ) é
onde
é um número real (a componente de
na direção de
).
- Gram–Schmidt para uma sequência
: define-se
Cada
é o resíduo de
após retirar as componentes nas direções já escolhidas; cada
é o vetor unitário correspondente. Vou aplicar isso passo a passo aos vetores dados.
Passo 3
Primeiro vetor:
. Calcular a norma:
Normalizando:
Explicação: dividimos cada componente de
por
para obter um vetor de comprimento 1 na mesma direção.
Passo 4
Segundo vetor:
. Primeiro achar a projeção de
sobre
. Calcular o produto escalar:
Logo a projeção é
Subtrair para obter o componente ortogonal:
Norma de
:
Normalizando:
Comentário:
é ortogonal a
por construção; ao normalizar obtemos um vetor unitário
ortogonal a
.
Passo 5
Terceiro vetor:
. Calcular projeções sobre
e
. Primeiro com
:
Agora com
:
logo
. Portanto
Norma de
:
Normalizando:
Passo 6
Verificação rápida de ortonormalidade (mostrando os produtos escalares são zero e normas são 1).
- Normas:
por construção, , . - Produtos escalares:
Portanto
são mutuamente ortogonais e de norma 1, ou seja, formam uma base ortonormal.
Passo 7
Resumo final: a aplicação do Gram–Schmidt forneceu explicitamente os três vetores unitários ortogonais. Fica a dica: na prova faça sempre a projeção calculando primeiro o produto escalar
(um número), multiplique por
(o vetor) e subtraia — isso evita confusão com frações no meio do caminho. Força aí — você já tem a receita pronta para aplicar rápido no exame!