3^{\underline{a}} Questão ( 2,0 pontos) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+z, x+y-2 z).
(a) Encontre o núcleo de T, uma base para o subespaço N(T) e sua dimensão.
(b) Encontre a imagem de T, uma base para o subespaço I m(T) e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x+2y-z,\; y+z,\; x+y-2z).
O que se pede:
(a) encontrar o núcleo de T (isto é, o conjunto de vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z)=0), uma base para N(T) e a dimensão de N(T);
(b) encontrar a imagem de T (o subespaço gerado pelos vetores T(v)), uma base para \operatorname{Im}(T) e a dimensão de \operatorname{Im}(T).
Informações relevantes que temos e usaremos:
  • Trabalhar na base canônica de \mathbb{R}^3.
  • Para calcular núcleo e imagem é útil escrever T como matriz A cujas colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1).
  • Resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 para o núcleo; para a imagem usar as colunas de A e eliminar dependências lineares (redução de linhas).

Passo 2

Montar a matriz de T na base canônica. Calculando T nas bases canônicas:
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,1), \qquad T(e_2)=T(0,1,0)=(2,1,1), \qquad T(e_3)=T(0,0,1)=(-1,1,-2).
Logo a matriz A associada a T (colunas são T(e_i)) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o núcleo: devemos resolver
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema linear equivalente:
\begin{cases} x+2y-z=0,\\[4pt] y+z=0,\\[4pt] x+y-2z=0. \end{cases}
Vamos resolver por eliminação (mostro as operações de linha de forma clara). Matriz aumentada \bigl[A\mid 0\bigr]\): \[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}\right).
Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right).
Agora fazer R_3 \leftarrow R_3 + R_2:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
As equações equivalentes ao sistema reduzido são
\begin{cases} x+2y-z=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Da segunda equação y=-z\]. Substituindo na primeira: \[x+2(-z)-z=0 \quad\Rightarrow\quad x-3z=0 \quad\Rightarrow\quad x=3z.\] Tomando \(z como parâmetro livre t\in\mathbb{R}, obtemos
(x,y,z)=t(3,-1,1).
Portanto o núcleo é
N(T)=\operatorname{span}\{(3,-1,1)\}.
Uma base para N(T) é \{(3,-1,1)\} e a dimensão é \dim N(T)=1.
Observação intuitiva: o núcleo contém exatamente os múltiplos do vetor (3,-1,1); se estiver na prova, escreva claramente a redução e parametrize com t.]

Passo 4

Calcular a imagem: por definição \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas de A, isto é
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,1),\;(2,1,1),\;(-1,1,-2)\}.
Para encontrar uma base da imagem e sua dimensão precisamos extrair um conjunto independente de colunas de A. Já fizemos redução por linhas em Passo 3 e obtivemos a forma escalonada associada a A:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Dessa forma vemos que há pivôs nas colunas 1 e 2, logo as colunas originais 1 e 2 formam um conjunto independente que gera a imagem. Assim uma base da imagem é
\{(1,0,1),\;(2,1,1)\}.
A dimensão (posto) é \operatorname{rank}(A)=2, então \dim \operatorname{Im}(T)=2.
Para confirmar, podemos expressar explicitamente a terceira coluna como combinação linear das duas primeiras e mostrar que não adiciona nova direção:
procuramos a,b tais que
a(1,0,1)+b(2,1,1)=(-1,1,-2).
Da segunda componente obtemos b=1. Da primeira componente a+2b=-1\Rightarrow a=-3. Verificando a terceira componente: a+b=-3+1=-2. Logo
(-1,1,-2)=-3(1,0,1)+1(2,1,1),
confirmando que a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras.]

Passo 5

Aplicação do teorema dimensão-núcleo-imagem (teorema da dimensão ou rank-nullity) como checagem: para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,
\dim N(T)+\dim \operatorname{Im}(T)=3.
Aqui obtivemos 1+2=3, consistente.
Pequena dica para a prova: sempre que pedirem núcleo e imagem,
  • escreva a matriz na base canônica,
  • reduza por linhas para achar pivôs (isso dá o posto) e resolver o sistema homogêneo (isso dá o núcleo),
  • escolha as colunas correspondentes aos pivôs como base da imagem (usar as colunas originais, não as reduzidas, para manter vetores no espaço correto).

Resposta

(a) N(T)=\operatorname{span}\{(3,-1,1)\}. Base: \{(3,-1,1)\}. \dim N(T)=1
(b) \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,1),(2,1,1)\}. Base: \{(1,0,1),(2,1,1)\}. \dim \operatorname{Im}(T)=2

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