3^{\underline{a}} Questão ( 2,0 pontos) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+z, x+y-2 z).
(a) Encontre o núcleo de T, uma base para o subespaço N(T) e sua dimensão.
(b) Encontre a imagem de T, uma base para o subespaço I m(T) e sua dimensão.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x+2y-z,\; y+z,\; x+y-2z).
O que se pede:
(a) encontrar o núcleo de T (isto é, o conjunto de vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z)=0), uma base para N(T) e a dimensão de N(T);
(b) encontrar a imagem de T (o subespaço gerado pelos vetores T(v)), uma base para \operatorname{Im}(T) e a dimensão de \operatorname{Im}(T).
Informações relevantes que temos e usaremos:
Trabalhar na base canônica de \mathbb{R}^3.
Para calcular núcleo e imagem é útil escrever T como matriz A cujas colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1).
Resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 para o núcleo; para a imagem usar as colunas de A e eliminar dependências lineares (redução de linhas).
Passo 2
Montar a matriz de T na base canônica. Calculando T nas bases canônicas:
Da segunda equação y=-z\]. Substituindo na primeira:
\[x+2(-z)-z=0 \quad\Rightarrow\quad x-3z=0 \quad\Rightarrow\quad x=3z.\]
Tomando \(z como parâmetro livre t\in\mathbb{R}, obtemos
(x,y,z)=t(3,-1,1).
Portanto o núcleo é
N(T)=\operatorname{span}\{(3,-1,1)\}.
Uma base para N(T) é \{(3,-1,1)\} e a dimensão é \dim N(T)=1.
Observação intuitiva: o núcleo contém exatamente os múltiplos do vetor (3,-1,1); se estiver na prova, escreva claramente a redução e parametrize com t.]
Passo 4
Calcular a imagem: por definição \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado pelas colunas de A, isto é
Para encontrar uma base da imagem e sua dimensão precisamos extrair um conjunto independente de colunas de A. Já fizemos redução por linhas em Passo 3 e obtivemos a forma escalonada associada a A:
Dessa forma vemos que há pivôs nas colunas 1 e 2, logo as colunas originais 1 e 2 formam um conjunto independente que gera a imagem. Assim uma base da imagem é
\{(1,0,1),\;(2,1,1)\}.
A dimensão (posto) é \operatorname{rank}(A)=2, então \dim \operatorname{Im}(T)=2.
Para confirmar, podemos expressar explicitamente a terceira coluna como combinação linear das duas primeiras e mostrar que não adiciona nova direção:
procuramos a,b tais que
a(1,0,1)+b(2,1,1)=(-1,1,-2).
Da segunda componente obtemos b=1. Da primeira componente a+2b=-1\Rightarrow a=-3. Verificando a terceira componente: a+b=-3+1=-2. Logo
(-1,1,-2)=-3(1,0,1)+1(2,1,1),
confirmando que a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras.]
Passo 5
Aplicação do teorema dimensão-núcleo-imagem (teorema da dimensão ou rank-nullity) como checagem: para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,
\dim N(T)+\dim \operatorname{Im}(T)=3.
Aqui obtivemos 1+2=3, consistente.
Pequena dica para a prova: sempre que pedirem núcleo e imagem,
escreva a matriz na base canônica,
reduza por linhas para achar pivôs (isso dá o posto) e resolver o sistema homogêneo (isso dá o núcleo),
escolha as colunas correspondentes aos pivôs como base da imagem (usar as colunas originais, não as reduzidas, para manter vetores no espaço correto).