Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau? Quais estão na forma linha degrau reduzida? \left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Identificar se a mesma matriz está na forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form).
Informações dadas:
A matriz A é 3\times3 com as linhas listadas acima.
Não há outras matrizes nem restrições adicionais no enunciado.]
Passo 2
Vou explicar direitinho o que é “forma linha degrau” para sabermos exatamente o que checar. Uma matriz está em forma linha degrau (REF) se satisfaz estas propriedades (cada uma é uma condição a verificar):
Todas as linhas que são totalmente zero aparecem abaixo de todas as linhas não-nulas (ou seja, as linhas zero, se existirem, estão no fim).
Em cada linha não-nula, o primeiro elemento não-nulo (o chamado pivô ou entrada líder) fica mais à direita do que o pivô da linha imediatamente acima. Em outras palavras, os pivôs avançam para a direita conforme descemos as linhas.
Os pivôs são não nulos (obviamente), mas NÃO é exigido que sejam iguais a 1 nesta forma.
Explicando termos com calma:
“Linha não-nula” significa uma linha que tem pelo menos um elemento diferente de 0.
“Pivô” ou “entrada líder” de uma linha é o primeiro elemento da linha, contado da esquerda para a direita, que for diferente de zero.
Passo 3
Agora a forma linha degrau reduzida (RREF). Uma matriz está em RREF se, além de ser REF, satisfaz também:
4. Cada pivô é igual a 1.
5. Cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna (ou seja, em sua coluna todos os outros elementos são 0). Isso significa que as colunas com pivô são colunas canônicas (vetores com um único 1 e zeros nos demais lugares).
Condição 1 (linhas zero embaixo): Há uma linha totalmente zero (a terceira linha). Ela está na posição mais baixa. Portanto a condição 1 está satisfeita.
Condição 2 (pivôs avançam para a direita):
Na primeira linha, o primeiro elemento não-nulo é 1 na coluna 1. Logo o pivô da linha 1 está na coluna 1.
Na segunda linha, a primeira entrada não-nula aparece na coluna 3 (porque as entradas nas colunas 1 e 2 são zero, e em coluna 3 temos 1). Logo o pivô da linha 2 está na coluna 3.
O pivô da linha 2 (coluna 3) está à direita do pivô da linha 1 (coluna 1). Isso cumpre a condição de avanço para a direita.
A terceira linha é toda zero, não tem pivô; isso é permitido.
Condição 3 (pivôs não nulos): ambos os pivôs identificados são não nulos (1 e 1). OK.
Conclusão desta etapa: todas as condições da forma linha degrau (REF) são satisfeitas. Portanto A está na forma linha degrau.]
Passo 5
Agora verifico as condições extras para ser forma linha degrau reduzida (RREF).
Lembrando: já temos REF. Faltam verificar condições 4 e 5:
Condição 4 (cada pivô é 1):
Pivô da linha 1 = 1.
Pivô da linha 2 = 1.
Ambos são 1. Então a condição 4 está satisfeita.
Condição 5 (cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna):
Coluna do pivô da linha 1 é a coluna 1. Os elementos dessa coluna são \begin{bmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}. O único não-zero é o pivô ( 1 na primeira linha). OK.
Coluna do pivô da linha 2 é a coluna 3. Os elementos dessa coluna são \begin{bmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{bmatrix}. O único não-zero é o pivô ( 1 na segunda linha). OK.
Como ambas as colunas de pivô têm zeros em todas as outras posições, a condição 5 também está satisfeita.
Portanto A satisfaz REF e as condições adicionais para RREF.]
Passo 6
Pequeno comentário prático para a prova (como identificar rápido):
Procure os pivôs linha a linha: primeiro não-zero em cada linha não-nula.
Verifique se os pivôs descem para a direita (REF).
Verifique se não há valores não-nulos acima/abaixo dos pivôs (se houver só zeros nas colunas de pivô e os pivôs forem 1, então é RREF).
Neste problema em particular não foi preciso fazer operações (eliminação) porque a matriz já apresentava esses padrões visíveis.
Resposta
A matriz está na forma linha degrau: Sim.
A matriz está na forma linha degrau reduzida: Sim.