Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau? Quais estão na forma linha degrau reduzida?
\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 3\end{array}\right)
e pergunta:
  • Esta matriz está na forma linha degrau (row echelon form)?
  • Esta matriz está na forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form)?
Aqui estão as informações relevantes dadas: a matriz A é 3\times3, triangular superior, com entradas diagonais 1,1,3.]

Passo 2

Vamos lembrar o que significa estar em forma linha degrau. Uma matriz está em forma linha degrau se satisfaz, em ordem, estas propriedades:
  1. Todas as linhas nulas (se houver) aparecem abaixo das linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula existe uma primeira entrada não nula — chamamos isso de entrada de pivô — e os pivôs à medida que descemos de linha aparecem estritamente mais à direita (ou seja, a posição do pivô de uma linha está à direita da posição do pivô da linha anterior).
  3. Todos os elementos abaixo de um pivô são zeros.
Observação importante: para a forma linha degrau não é exigido que o pivô seja 1; basta que seja não nulo.

Passo 3

Aplicando as propriedades da forma linha degrau à matriz A:
  • Linha 1: primeira entrada não nula (pivô) está na coluna 1 e vale 1.
  • Linha 2: primeira entrada não nula (pivô) está na coluna 2 e vale 1.
  • Linha 3: primeira entrada não nula (pivô) está na coluna 3 e vale 3.
Verificações:
  • Não há linhas nulas, então a condição (1) está satisfeita.
  • As posições dos pivôs são colunas 1,2,3, que vão cada uma para a direita da anterior, então a condição (2) está satisfeita.
  • Todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros: abaixo do pivô da linha 1 (coluna 1) há zeros; abaixo do pivô da linha 2 (coluna 2) há zero; não há linhas abaixo do pivô da linha 3. Assim a condição (3) está satisfeita.
Conclusão desta etapa: A satisfaz todas as condições da forma linha degrau, portanto A está na forma linha degrau.

Passo 4

Agora a definição de forma linha degrau reduzida (RREF). Uma matriz está em forma linha degrau reduzida se, além de ser já uma forma linha degrau, satisfaz mais duas condições:
4. O pivô de cada linha não nula é igual a 1.
5. Cada pivô 1 é o único elemento não nulo em sua coluna — ou seja, acima e abaixo de cada pivô há zeros.
Essas duas condições adicionais garantem que não existam entradas não nulas nem acima dos pivôs nem que pivôs diferentes tenham valores distintos de 1.

Passo 5

Verificações de RREF para A:
  • Condição 4 (pivôs iguais a 1): os pivôs das linhas 1 e 2 são 1, mas o pivô da linha 3 é 3. Portanto a condição 4 falha.
  • Condição 5 (zeros acima dos pivôs): mesmo ignorando o pivô da linha 3, observe a coluna do pivô da linha 2 (coluna 2): na linha 1, entrada a_{1,2}=1 é diferente de zero, ou seja, existe um não-zero acima do pivô da linha 2. Logo a condição 5 também falha.
Com isso fica claro que A não satisfaz as condições para ser forma linha degrau reduzida.

Passo 6

Para fixar a ideia e mostrar como se chegaria à forma linha degrau reduzida (caso fosse pedido no exame), apresento as operações elementares que transformam A na sua RREF. Essas operações são apenas ilustrativas — não eram pedidas —, mas ajudam a entender por que A não é RREF inicialmente.
  1. Tornar o pivô da terceira linha igual a 1 dividindo a linha 3 por 3:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_3 \quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{array}\right).
  1. Eliminar os elementos acima do pivô na coluna 3:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3,\qquad R_1 \leftarrow R_1 - R_3
resultando em
\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{array}\right).
  1. Eliminar o elemento acima do pivô na coluna 2:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2
resultando na forma reduzida
\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{array}\right),
que é a matriz identidade I_3, de fato a RREF de A.
Essas operações mostram por que A não estava já em RREF: havia não-zeros acima de pivôs e o último pivô não era 1.]

Resposta

A matriz está na forma linha degrau: Sim
A matriz está na forma linha degrau reduzida: Não

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