Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau? Quais estão na forma linha degrau reduzida? \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma única matriz e pergunta duas coisas sobre ela. A matriz fornecida é
A matriz A está na forma linha degrau (row echelon form)?
A matriz A está na forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form)?]
Passo 2
Antes de checar, vamos recordar cuidadosamente o que cada forma exige (vou explicar cada condição devagar para você entender bem).
Definição de forma linha degrau (REF). Uma matriz está em forma linha degrau se satisfaz todas estas condições:
Todas as linhas nulas (linhas totalmente zero) aparecem abaixo de todas as linhas não nulas.
Em cada linha não nula existe um primeiro elemento não nulo (chamado de entrada de destaque ou pivot) e, ao descer de uma linha não nula para a seguinte não nula, a posição desse pivot desloca-se estritamente para a direita.
Não há exigência de que pivôs sejam iguais a 1 nem que os elementos acima ou abaixo dos pivôs sejam zero (essas são exigências da forma reduzida).
Definição de forma linha degrau reduzida (RREF). Uma matriz está em forma linha degrau reduzida se, além de estar em REF, satisfaz:
Cada pivot (entrada de destaque) vale 1.
Em cada coluna que contém um pivot, esse 1 é o único elemento não nulo da coluna (ou seja, todos os outros elementos nessa coluna são zero).
Passo 3
Vamos identificar as linhas não nulas e os pivôs na matriz A.
A primeira linha é (0,1), que é uma linha não nula; o seu primeiro elemento não nulo (pivot) está na coluna 2 e vale 1.
A segunda linha é (0,0), linha nula.
A terceira linha é (0,0), linha nula.
Portanto há exatamente uma linha não nula (a primeira) e duas linhas nulas abaixo dela.]
Passo 4
Verificação das condições da forma linha degrau (REF), uma a uma, aplicadas a A.
Condição 1 (linhas nulas abaixo das não nulas): As linhas nulas (linha 2 e 3) aparecem abaixo da linha não nula (linha 1). Logo essa condição está satisfeita.
Condição 2 (pivôs deslocam-se para a direita ao descer): Há apenas uma linha não nula. A condição exige que os pivôs das linhas não nulas formem uma progressão estritamente à direita enquanto desço linhas não nulas consecutivas. Com só um pivô essa condição é automaticamente satisfeita (vacuamente).
Condição 3 (pivot não nulo): O pivot da primeira linha é 1, que é diferente de zero. OK.
Como todas as condições da REF são satisfeitas, concluímos que A está na forma linha degrau.
Passo 5
Agora verificamos as condições extras para a forma linha degrau reduzida (RREF). Lembre-se: precisa estar em REF (já mostramos que está) e também:
Cada pivot deve ser 1.
Em cada coluna de pivot, todos os outros elementos (acima e abaixo) devem ser zero.
Checagem em A:
O pivot que encontramos vale 1. Então a primeira condição extra está satisfeita.
A coluna do pivot é a coluna 2. Os elementos dessa coluna são \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} (peguei esses valores diretamente da matriz A). Todos os outros elementos nessa coluna (linhas 2 e 3) são zeros. Portanto a segunda condição extra também está satisfeita.]
Passo 6
Como A está em REF e satisfaz as duas condições adicionais (pivôs iguais a 1 e zeros em sua coluna, exceto o pivot), então A está também na forma linha degrau reduzida (RREF). Em linguagem rápida: a matriz já está completamente reduzida — não é preciso nenhuma operação de linha para torná-la reduzida.
Resposta
Sim — está na forma linha degrau.
Sim — está na forma linha degrau reduzida.