e pergunta se o polinómio \,1+x\, é combinação linear desses polinómios.\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{polinómios }p_{1},p_{2},p_{3}\quad\text{e o alvo}\quad 1+x.
A tarefa é decidir se existem escalares (números) a,b,c tais que
a p_{1}+b p_{2}+c p_{3}=1+x.
Passo 2
O que significa “ser combinação linear”?\n
Significa que podemos escrever o polinómio alvo como soma ponderada dos polinómios dados, ou seja, encontrar números a,b,c (podem ser reais) com
a p_{1}+b p_{2}+c p_{3}=1+x.
Dica prática (método que usamos em provas): expandimos a soma do lado esquerdo e igualamos coeficientes de x^{0} (constante), x^{1} e x^{2}. A razão é que dois polinómios são iguais se e só se todos os coeficientes correspondentes são iguais — isso permite traduzir o problema para um sistema linear em a,b,c.
Passo 3
Vamos pôr incógnitas e escrever a igualdade. Seja a,b,c tais que
a(2+x+x^{2})+b(1-x^{2})+c(1+2x)=1+x.
Expandimos e agrupamos por potências de x:
constante: 2a+b+c,
coeficiente de x: a+2c,
coeficiente de x^{2}: a-b.
Igualando aos coeficientes do lado direito (1+x tem constante 1, coeficiente de x igual a 1, e coeficiente de x^{2} igual a 0) obtemos o sistema
Verificação final (sempre faça isto numa prova; dá segurança):\n
Calculemos a p_{1}+b p_{2}+c p_{3} com a=\tfrac{1}{5},\,b=\tfrac{1}{5},\,c=\tfrac{2}{5}:
Juntando termos constantes: \tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{2}{5}=1.\n
Termos em x: \tfrac{1}{5}x+\tfrac{4}{5}x=x.\n
Termos em x^{2}: \tfrac{1}{5}x^{2}-\tfrac{1}{5}x^{2}=0.\n
Portanto a soma é 1+x, como queríamos. Concluímos que existe combinação linear — e já encontramos os coeficientes.