Em cada caso, determina se o polinómio é combinação linear de
p_{1}=2+x+x^{2}, \quad p_{2}=1-x^{2}, \quad p_{3}=1+2 x .
1+x

Passo 1

O enunciado dá os polinómios
p_{1}=2+x+x^{2},\qquad p_{2}=1-x^{2},\qquad p_{3}=1+2x
e pergunta se o polinómio \,1+x\, é combinação linear desses polinómios.\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{polinómios }p_{1},p_{2},p_{3}\quad\text{e o alvo}\quad 1+x.ó
A tarefa é decidir se existem escalares (números) a,b,c tais que
a p_{1}+b p_{2}+c p_{3}=1+x.

Passo 2

O que significa “ser combinação linear”?\n
Significa que podemos escrever o polinómio alvo como soma ponderada dos polinómios dados, ou seja, encontrar números a,b,c (podem ser reais) com
a p_{1}+b p_{2}+c p_{3}=1+x.
Dica prática (método que usamos em provas): expandimos a soma do lado esquerdo e igualamos coeficientes de x^{0} (constante), x^{1} e x^{2}. A razão é que dois polinómios são iguais se e só se todos os coeficientes correspondentes são iguais — isso permite traduzir o problema para um sistema linear em a,b,c.

Passo 3

Vamos pôr incógnitas e escrever a igualdade. Seja a,b,c tais que
a(2+x+x^{2})+b(1-x^{2})+c(1+2x)=1+x.
Expandimos e agrupamos por potências de x:
constante: 2a+b+c,
coeficiente de x: a+2c,
coeficiente de x^{2}: a-b.
Igualando aos coeficientes do lado direito ( 1+x tem constante 1, coeficiente de x igual a 1, e coeficiente de x^{2} igual a 0) obtemos o sistema
\begin{cases} 2a+b+c=1,\\[4pt] a+2c=1,\\[4pt] a-b=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo.\n
Da terceira equação temos
a-b=0\quad\Rightarrow\quad b=a.
Substituindo b=a na primeira equação:
2a+a+c=1\quad\Rightarrow\quad 3a+c=1.
Da segunda equação:
a+2c=1\quad\Rightarrow\quad 2c=1-a\quad\Rightarrow\quad c=\frac{1-a}{2}.
Substituindo este c em 3a+c=1:
3a+\frac{1-a}{2}=1.
Multiplicamos por 2 para ficar sem denominadores:
6a+1-a=2\quad\Rightarrow\quad 5a+1=2\quad\Rightarrow\quad 5a=1\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{5}.
Então
b=a=\frac{1}{5}, \qquad c=\frac{1-a}{2}=\frac{1-\tfrac{1}{5}}{2}=\frac{\tfrac{4}{5}}{2}=\frac{2}{5}.

Passo 5

Verificação final (sempre faça isto numa prova; dá segurança):\n
Calculemos a p_{1}+b p_{2}+c p_{3} com a=\tfrac{1}{5},\,b=\tfrac{1}{5},\,c=\tfrac{2}{5}:
\frac{1}{5}(2+x+x^{2})+\frac{1}{5}(1-x^{2})+\frac{2}{5}(1+2x).
Juntando termos constantes: \tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{2}{5}=1.\n
Termos em x: \tfrac{1}{5}x+\tfrac{4}{5}x=x.\n
Termos em x^{2}: \tfrac{1}{5}x^{2}-\tfrac{1}{5}x^{2}=0.\n
Portanto a soma é 1+x, como queríamos. Concluímos que existe combinação linear — e já encontramos os coeficientes.

Resposta

1+x=\dfrac{1}{5}p_{1}+\dfrac{1}{5}p_{2}+\dfrac{2}{5}p_{3}

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