Escreve as matrizes seguintes como combinações lineares de
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right], D=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right] .
\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes A,B,C,D e pede para escrever a matriz
M=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\[4pt] 2 & 4 \end{array}\right]
como combinação linear dessas matrizes. As matrizes fornecidas são:
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right],\quad C=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 \end{array}\right],\quad D=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0\\[4pt] 1 & -1 \end{array}\right].
O que precisamos encontrar são escalares (números reais) \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D=M.]

Passo 2

Vamos explicar o que significa uma combinação linear e montar a equação componente a componente.
Uma combinação linear \alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D significa multiplicar cada matriz pelo seu escalar e somar as matrizes entrada a entrada. Se escrevemos
L=\alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D,
então a entrada superior esquerda de L é a combinação dos elementos superiores esquerdos de A,B,C,D, e assim por diante. Vamos introduzir incógnitas para os escalares:
\alpha,\\ \beta,\\ \gamma,\\ \delta\in\mathbb{R}.
Agora calculemos as entradas de L explicitamente. Multiplicando e somando entrada a entrada obtemos
L=\left[\begin{array}{cc} \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot 0 + \delta\cdot 2 & \alpha\cdot 0 + \beta\cdot 1 + \gamma\cdot 1 + \delta\cdot 0\\[6pt] \alpha\cdot 2 + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot 0 + \delta\cdot 1 & \alpha\cdot(-1) + \beta\cdot 1 + \gamma\cdot 0 + \delta\cdot(-1) \end{array}\right].
Simplificando as expressões de cada entrada:
L=\left[\begin{array}{cc} \alpha+2\delta & \beta+\gamma\\[4pt] 2\alpha+\delta & -\alpha+\beta-\delta \end{array}\right].
Queremos que L=M. Igualando cada entrada correspondente obtemos um sistema de quatro equações nas quatro incógnitas:
\begin{cases} \alpha+2\delta=1,\\[4pt] \beta+\gamma=2,\\[4pt] 2\alpha+\delta=2,\\[4pt] -\alpha+\beta-\delta=4. \end{cases}]

Passo 3

Agora resolvemos o sistema passo a passo, explicando as operações.
Do sistema, peguemos as equações das entradas (superior esquerda) e (inferior esquerda):
\begin{cases} \alpha+2\delta=1 &\text{(eq. 1)},\\[4pt] 2\alpha+\delta=2 &\text{(eq. 3)}. \end{cases}
Vamos eliminar uma variável. Multiplicando (eq. 1) por 2 temos
2\alpha+4\delta=2.
Subtraindo (eq. 3) dessa equação:
(2\alpha+4\delta)-(2\alpha+\delta)=2-2 \quad\Longrightarrow\quad 3\delta=0.
Logo
\delta=0.
Substituindo \delta=0 em (eq. 1):
\alpha+2\cdot 0=1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=1.
Agora usamos as equações que envolvem \beta e \gamma. Da (eq. 4) temos
-\alpha+\beta-\delta=4.
Substituindo \alpha=1 e \delta=0:
-1+\beta-0=4 \quad\Longrightarrow\quad \beta=5.
Finalmente, da (eq. 2):
\beta+\gamma=2 \quad\Longrightarrow\quad 5+\gamma=2 \quad\Longrightarrow\quad \gamma=-3.
Assim obtemos a solução:
\alpha=1,\quad \beta=5,\quad \gamma=-3,\quad \delta=0.]

Passo 4

Vamos escrever a combinação encontrada e checar rapidamente entrada a entrada para confirmar que bate com M.
A combinação é
1\cdot A + 5\cdot B + (-3)\cdot C + 0\cdot D = A + 5B - 3C.
Calculemos as entradas para checar:
  • Entrada superior esquerda: 1\cdot 1 + 5\cdot 0 -3\cdot 0 +0\cdot 2 = 1.
  • Entrada superior direita: 1\cdot 0 + 5\cdot 1 -3\cdot 1 +0\cdot 0 = 5-3=2.
  • Entrada inferior esquerda: 1\cdot 2 + 5\cdot 0 -3\cdot 0 +0\cdot 1 = 2.
  • Entrada inferior direita: 1\cdot(-1) + 5\cdot 1 -3\cdot 0 +0\cdot(-1) = -1+5=4.
As quatro entradas coincidem com M, logo a combinação está correta.
Observação rápida sobre unicidade: resolvemos um sistema de quatro equações lineares e obtivemos uma única solução para \alpha,\beta,\gamma,\delta, portanto nesta situação a expressão encontrada é única.

Resposta

\left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\[4pt] 2 & 4 \end{array}\right]=1\cdot A+5\cdot B-3\cdot C+0\cdot D]

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