Quais das seguintes matrizes 3 \times 3 estão em forma escalonada reduzida por linhas?
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Para isso, lembramos as condições de RREF:
  1. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) é 1.
  2. Cada pivot é o único elemento não nulo em sua coluna.
  3. Todas as linhas nulas ficam abaixo das linhas não nulas.
  4. Os pivots avançam à direita quando descemos de linha.]

Passo 2

Verificamos os pivots de A. Há um 1 em (1,1) e outro 1 em (3,3). Em cada uma dessas colunas todos os outros elementos são zero, e cada pivot é o primeiro não nulo da respectiva linha. Portanto as condições 1, 2 e 4 estão satisfeitas.

Passo 3

Agora checamos a condição 3: as linhas nulas devem ficar abaixo das não nulas. Em A a segunda linha é completamente nula, mas a terceira linha é não nula. Logo existe uma linha nula (linha 2) acima de uma linha não nula (linha 3), o que viola a condição.

Resposta

A matriz não está em forma escalonada reduzida por linhas.

Exercícios relacionados